Номер 28.23, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.23. Постройте график и запишите наибольшее или наименьшее значение и ось симметрии графика функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 5;$

2) $y = -x^2 - 6x + 3;$

3) $y = -\frac{3}{4}x^2 - x - 2;$

4) $y = \frac{1}{4}x^2 - x + 1.$

1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2, b=-4, c=5$. Графиком является парабола. Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
Наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{min} = 3$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, 5)$.
График функции представлен на рисунке. Синим цветом показана парабола, красной пунктирной линией — ось симметрии.

Ответ: Наименьшее значение: $3$; ось симметрии: $x=1$.

2) $y = -x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a=-1, b=-6, c=3$. Графиком является парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$.
$y_0 = -(-3)^2 - 6(-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12$.
Вершина параболы находится в точке $(-3, 12)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -3$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = 12$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ будет $(-6, 3)$.
При $x=-1$, $y = -(-1)^2 - 6(-1) + 3 = 8$. Точка $(-1, 8)$.
Симметричная ей точка: $(-5, 8)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наибольшее значение: $12$; ось симметрии: $x=-3$.

3) $y = \frac{3}{4}x^2 - x - 2$

Это квадратичная функция с $a=\frac{3}{4}, b=-1, c=-2$. Графиком является парабола. Так как $a=\frac{3}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
$y_0 = \frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{2}{3} - 2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} - \frac{2}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3})$.
Уравнение оси симметрии: $x = \frac{2}{3}$.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -\frac{7}{3}$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Пересечение с OY: при $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$.
Симметричная точка: $(\frac{4}{3}, -2)$.
При $x=2, y=\frac{3}{4}(2)^2-2-2=3-4=-1$. Точка $(2, -1)$.
Симметричная точка: $(-\frac{2}{3}, -1)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наименьшее значение: $-\frac{7}{3}$; ось симметрии: $x=\frac{2}{3}$.

4) $y = \frac{1}{4}x^2 - x + 1$

Это квадратичная функция с $a=\frac{1}{4}, b=-1, c=1$. Графиком является парабола. Так как $a=\frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
Эту функцию можно представить, выделив полный квадрат: $y = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4) = \frac{1}{4}(x-2)^2$.
Из этой формы видно, что вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
Наименьшее значение функции (достигается в вершине): $y_{min} = 0$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Пересечение с OY: при $x=0, y=1$. Точка $(0, 1)$.
Симметричная точка: $(4, 1)$.
При $x=6, y=\frac{1}{4}(6-2)^2=\frac{1}{4}(16)=4$. Точка $(6, 4)$.
Симметричная точка: $(-2, 4)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наименьшее значение: $0$; ось симметрии: $x=2$.