Номер 28.17, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.17. Преобразуйте в сумму тригонометрических функций произведение:

1) $4\sin5^{\circ} \cdot \cos15^{\circ} \cdot \sin25^{\circ}$;

2) $4\sin20^{\circ} \cdot \cos20^{\circ} \cdot \cos80^{\circ}$.

1) $4\sin5^\circ \cdot \cos15^\circ \cdot \sin25^\circ$

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму воспользуемся соответствующими формулами. Сначала сгруппируем множители и применим формулу преобразования произведения синуса на косинус:

$2\sin\alpha \cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$

Рассмотрим выражение:

$4\sin5^\circ \cos15^\circ \sin25^\circ = 2 \cdot (2\sin5^\circ \cos15^\circ) \cdot \sin25^\circ$

Преобразуем выражение в скобках:

$2\sin5^\circ \cos15^\circ = \sin(5^\circ + 15^\circ) + \sin(5^\circ - 15^\circ) = \sin20^\circ + \sin(-10^\circ)$

Так как синус — функция нечетная ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sin20^\circ - \sin10^\circ$

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$2(\sin20^\circ - \sin10^\circ)\sin25^\circ = 2\sin20^\circ\sin25^\circ - 2\sin10^\circ\sin25^\circ$

Теперь к каждому из полученных произведений применим формулу преобразования произведения синусов:

$2\sin\alpha \sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$

Для первого слагаемого:

$2\sin20^\circ\sin25^\circ = \cos(25^\circ - 20^\circ) - \cos(25^\circ + 20^\circ) = \cos5^\circ - \cos45^\circ$

Для второго слагаемого:

$2\sin10^\circ\sin25^\circ = \cos(25^\circ - 10^\circ) - \cos(25^\circ + 10^\circ) = \cos15^\circ - \cos35^\circ$

Собираем все вместе:

$(\cos5^\circ - \cos45^\circ) - (\cos15^\circ - \cos35^\circ) = \cos5^\circ - \cos45^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ$

Упорядочим слагаемые и подставим известное значение $\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\cos5^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\cos5^\circ - \cos15^\circ + \cos35^\circ - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $4\sin20^\circ \cdot \cos20^\circ \cdot \cos80^\circ$

Для преобразования данного произведения воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Сгруппируем множители в исходном выражении:

$4\sin20^\circ \cos20^\circ \cos80^\circ = 2 \cdot (2\sin20^\circ \cos20^\circ) \cdot \cos80^\circ$

Применим формулу синуса двойного угла к выражению в скобках, где $\alpha = 20^\circ$:

$2\sin20^\circ \cos20^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = \sin40^\circ$

Подставим результат в выражение:

$2 \cdot \sin40^\circ \cdot \cos80^\circ = 2\sin40^\circ\cos80^\circ$

Теперь воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму:

$2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$

В нашем случае $\alpha = 40^\circ$ и $\beta = 80^\circ$:

$2\sin40^\circ\cos80^\circ = \sin(40^\circ + 80^\circ) + \sin(40^\circ - 80^\circ) = \sin(120^\circ) + \sin(-40^\circ)$

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$), получаем:

$\sin(120^\circ) - \sin(40^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то окончательное выражение имеет вид:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(40^\circ)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin40^\circ$.