Номер 28.20, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.20. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}, \\ x^2 - y^2 = 5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{3x}{y} - \frac{y}{x} = -2, \\ x^2 - y^2 = -8; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{4y}{x} = 5, \\ xy = 4. \end{cases}$

1) Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$
Умножим обе части на $12t$ (ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$, следовательно $t \neq 0$):
$12t^2 + 12 = 25t$
$12t^2 - 25t + 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{4}{3}$.
$\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$, откуда $x = \frac{4}{3}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 7$:
$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$
$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$
$\frac{7}{9}y^2 = 7$
$y^2 = 9$
$y_1 = 3$, $y_2 = -3$.
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$.
Получаем две пары решений: $(4, 3)$ и $(-4, -3)$.
Случай 2: $t = \frac{3}{4}$.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$, откуда $x = \frac{3}{4}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$
$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$
$\frac{-7}{16}y^2 = 7$
$y^2 = -16$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 3), (-4, -3)$.

2) Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \frac{x}{y}$. Первое уравнение примет вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6}$
Умножим обе части на $6t$ ($t \neq 0$):
$6t^2 - 6 = 5t$
$6t^2 - 5t - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{3}{2}$.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 5$:
$(\frac{3}{2}y)^2 - y^2 = 5$
$\frac{9}{4}y^2 - y^2 = 5$
$\frac{5}{4}y^2 = 5$
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$, $y_2 = -2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.
Получаем решения: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Случай 2: $t = -\frac{2}{3}$.
$\frac{x}{y} = -\frac{2}{3}$, откуда $x = -\frac{2}{3}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-\frac{2}{3}y)^2 - y^2 = 5$
$\frac{4}{9}y^2 - y^2 = 5$
$\frac{-5}{9}y^2 = 5$
$y^2 = -9$.
Это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

3) Введем замену $t = \frac{x}{y}$ в первом уравнении. Оно примет вид:
$3t - \frac{1}{t} = -2$
Умножим на $t$ ($t \neq 0$):
$3t^2 - 1 = -2t$
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{1}{3}$.
$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, откуда $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = -8$:
$x^2 - (3x)^2 = -8$
$x^2 - 9x^2 = -8$
$-8x^2 = -8$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Получаем решения: $(1, 3)$ и $(-1, -3)$.
Случай 2: $t = -1$.
$\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-y)^2 - y^2 = -8$
$y^2 - y^2 = -8$
$0 = -8$.
Это неверное равенство, поэтому в этом случае решений нет.

Ответ: $(1, 3), (-1, -3)$.

4) Из второго уравнения $xy=4$ выразим $y$ через $x$: $y = \frac{4}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение системы $\frac{x}{y} + \frac{4y}{x} = 5$:
$\frac{x}{4/x} + \frac{4(4/x)}{x} = 5$
$\frac{x^2}{4} + \frac{16}{x^2} = 5$
Сделаем замену $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число и $x \neq 0$, то $u > 0$.
$\frac{u}{4} + \frac{16}{u} = 5$
Умножим обе части на $4u$ (так как $u > 0$):
$u^2 + 64 = 20u$
$u^2 - 20u + 64 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1=4, u_2=16$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $u = 4$.
$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{4}{2} = 2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$.
Получаем решения: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.
Случай 2: $u = 16$.
$x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$, $x_4 = -4$.
Если $x_3 = 4$, то $y_3 = \frac{4}{4} = 1$.
Если $x_4 = -4$, то $y_4 = \frac{4}{-4} = -1$.
Получаем решения: $(4, 1)$ и $(-4, -1)$.
Всего система имеет четыре решения.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2), (4, 1), (-4, -1)$.