Страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Чем является сочетание без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов для этого множества?

2. Что означает символ: $C_n^0$; $C_n^n$; $C_n^k$ ?

3. В чем сходство и различие сочетаний и размещений без повторений?

4. Сколько элементов в множестве, если у него всего 16 подмножеств?

1. Сочетанием без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов ($k \le n$) называется любое подмножество этого множества, которое состоит из $k$ различных элементов. Ключевой особенностью сочетаний является то, что порядок следования элементов в подмножестве не имеет значения. Например, для множества {a, b, c} сочетаниями по 2 элемента являются {a, b}, {a, c}, {b, c}. Наборы {a, b} и {b, a} представляют собой одно и то же сочетание.
Ответ: Любое $k$-элементное подмножество данного $n$-элементного множества.

2. Это стандартные обозначения в комбинаторике для числа сочетаний без повторений.
• $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") — это общее обозначение числа сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ элементов. Оно показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов. Вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $C_n^0$ — это число способов выбрать 0 элементов из $n$. Логически, существует только один способ ничего не выбрать — это выбрать пустое множество. По формуле: $C_n^0 = \frac{n!}{0!(n-0)!} = \frac{n!}{1 \cdot n!} = 1$.
• $C_n^n$ — это число способов выбрать все $n$ элементов из $n$. Существует только один способ выбрать все элементы — взять всё множество целиком. По формуле: $C_n^n = \frac{n!}{n!(n-n)!} = \frac{n!}{n!0!} = 1$.
Ответ: $C_n^k$ – это символ, обозначающий число способов выбрать $k$ элементов из $n$ без учета порядка; $C_n^0=1$ – число способов выбрать 0 элементов; $C_n^n=1$ – число способов выбрать все $n$ элементов.

3. Сходство и различие этих понятий — одно из ключевых в комбинаторике.
Сходство: И сочетания, и размещения без повторений представляют собой выборки $k$ элементов из исходного множества, содержащего $n$ элементов. В обоих случаях элементы в выборке не могут повторяться.
Различие: Главное различие заключается в отношении к порядку элементов в выборке.
• Для размещений (обозначаются $A_n^k$) порядок элементов важен. Например, выборки {1, 2} и {2, 1} из множества {1, 2, 3} являются двумя разными размещениями.
• Для сочетаний (обозначаются $C_n^k$) порядок элементов неважен. Выборки {1, 2} и {2, 1} — это одно и то же сочетание.
Из-за этого число размещений из $n$ по $k$ всегда больше или равно числу сочетаний (равенство достигается при $k=0$ или $k=1$). Связь между ними выражается формулой: $A_n^k = k! \cdot C_n^k$.
Ответ: Сходство — в обоих случаях выбирают $k$ различных элементов из $n$. Различие — в размещениях важен порядок выбранных элементов, а в сочетаниях — нет.

4. Общее количество всех подмножеств для множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. Это следует из того, что при формировании подмножества для каждого из $n$ элементов есть два варианта: либо включить его в подмножество, либо не включать.
По условию задачи, у множества всего 16 подмножеств. Следовательно, нам нужно решить уравнение:
$2^n = 16$
Чтобы найти $n$, представим 16 как степень двойки:
$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$2^n = 2^4$
Отсюда следует, что $n = 4$.
Ответ: 4 элемента.

9.1. Вычислите: 1) $C_5^4$; 2) $C_5^3$; 3) $C_6^3$; 4) $C_{11}^9$.

Для вычисления числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ (обозначается как $C_n^k$) используется следующая формула:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$где $n!$ (читается как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.Также полезно помнить свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

1) Вычислим $C_5^4$.
Здесь $n=5$ и $k=4$. Подставляем значения в формулу:
$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!}$
Расписывая факториалы, получаем:
$C_5^4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1}$
Сокращая $4!$ в числителе и знаменателе, получаем:
$C_5^4 = \frac{5}{1} = 5$
Можно также использовать свойство симметрии, что упрощает вычисления:
$C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = 5$
Ответ: 5

2) Вычислим $C_5^3$.
Здесь $n=5$ и $k=3$.
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_5^3 = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$
Ответ: 10

3) Вычислим $C_6^3$.
Здесь $n=6$ и $k=3$.
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_6^3 = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{6} = 5 \times 4 = 20$
Ответ: 20

4) Вычислим $C_{11}^9$.
Здесь $n=11$ и $k=9$.
Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{11}^9 = C_{11}^{11-9} = C_{11}^2$
Теперь вычислим $C_{11}^2$:
$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!}$
Расписываем факториалы и сокращаем:
$C_{11}^2 = \frac{11 \times 10 \times 9!}{2 \times 1 \times 9!} = \frac{11 \times 10}{2} = 11 \times 5 = 55$
Ответ: 55

9.2. 1) Найдите число способов выбора 2 ручек из 5 и 2 карандашей из 3.

2) Найдите число способов выбора 3 тюльпанов из 10 и 4 нарциссов из 7.

3) Найдите число способов выбора 2 юношей из 20 и 2 девушек из 21.

1) Эта задача решается с использованием комбинаторики, а именно сочетаний, так как порядок выбора предметов не важен. Мы должны найти число способов выбора ручек и число способов выбора карандашей, а затем перемножить эти числа, так как выборы независимы (правило произведения).

Число способов выбрать 2 ручки из 5 равно числу сочетаний из 5 по 2, которое вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Для ручек: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

Число способов выбрать 2 карандаша из 3 равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ способа.

Общее число способов выбора равно произведению числа способов выбора ручек и числа способов выбора карандашей:

$N = C_5^2 \times C_3^2 = 10 \times 3 = 30$ способов.

Ответ: 30.

2) Аналогично предыдущей задаче, используем правило произведения для независимых событий: выбор тюльпанов и выбор нарциссов.

Сначала найдем число способов выбрать 3 тюльпана из 10:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$ способов.

Теперь найдем число способов выбрать 4 нарцисса из 7:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35$ способов.

Общее число способов равно произведению этих двух значений:

$N = C_{10}^3 \times C_7^4 = 120 \times 35 = 4200$ способов.

Ответ: 4200.

3) Задача решается по тому же принципу. Выбор юношей и выбор девушек — независимые события.

Найдем число способов выбрать 2 юношей из 20:

$C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 10 \times 19 = 190$ способов.

Найдем число способов выбрать 2 девушек из 21:

$C_{21}^2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21!}{2!19!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210$ способов.

Общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора:

$N = C_{20}^2 \times C_{21}^2 = 190 \times 210 = 39900$ способов.

Ответ: 39900.

28.20. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{25}{12}, \\ x^2 - y^2 = 7; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{5}{6}, \\ x^2 - y^2 = 5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{3x}{y} - \frac{y}{x} = -2, \\ x^2 - y^2 = -8; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{4y}{x} = 5, \\ xy = 4. \end{cases}$

1) Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \frac{x}{y}$. Тогда $\frac{y}{x} = \frac{1}{t}$. Первое уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{25}{12}$
Умножим обе части на $12t$ (ОДЗ: $x \neq 0, y \neq 0$, следовательно $t \neq 0$):
$12t^2 + 12 = 25t$
$12t^2 - 25t + 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 12 = 625 - 576 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{25 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{25 - 7}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{4}{3}$.
$\frac{x}{y} = \frac{4}{3}$, откуда $x = \frac{4}{3}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 7$:
$(\frac{4}{3}y)^2 - y^2 = 7$
$\frac{16}{9}y^2 - y^2 = 7$
$\frac{7}{9}y^2 = 7$
$y^2 = 9$
$y_1 = 3$, $y_2 = -3$.
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = \frac{4}{3} \cdot (-3) = -4$.
Получаем две пары решений: $(4, 3)$ и $(-4, -3)$.
Случай 2: $t = \frac{3}{4}$.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$, откуда $x = \frac{3}{4}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(\frac{3}{4}y)^2 - y^2 = 7$
$\frac{9}{16}y^2 - y^2 = 7$
$\frac{-7}{16}y^2 = 7$
$y^2 = -16$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4, 3), (-4, -3)$.

2) Введем замену в первом уравнении: пусть $t = \frac{x}{y}$. Первое уравнение примет вид:
$t - \frac{1}{t} = \frac{5}{6}$
Умножим обе части на $6t$ ($t \neq 0$):
$6t^2 - 6 = 5t$
$6t^2 - 5t - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$
$t_2 = \frac{5 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{3}{2}$.
$\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = 5$:
$(\frac{3}{2}y)^2 - y^2 = 5$
$\frac{9}{4}y^2 - y^2 = 5$
$\frac{5}{4}y^2 = 5$
$y^2 = 4$
$y_1 = 2$, $y_2 = -2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.
Получаем решения: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Случай 2: $t = -\frac{2}{3}$.
$\frac{x}{y} = -\frac{2}{3}$, откуда $x = -\frac{2}{3}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-\frac{2}{3}y)^2 - y^2 = 5$
$\frac{4}{9}y^2 - y^2 = 5$
$\frac{-5}{9}y^2 = 5$
$y^2 = -9$.
Это уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

3) Введем замену $t = \frac{x}{y}$ в первом уравнении. Оно примет вид:
$3t - \frac{1}{t} = -2$
Умножим на $t$ ($t \neq 0$):
$3t^2 - 1 = -2t$
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $t = \frac{1}{3}$.
$\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$, откуда $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение системы $x^2 - y^2 = -8$:
$x^2 - (3x)^2 = -8$
$x^2 - 9x^2 = -8$
$-8x^2 = -8$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$.
Получаем решения: $(1, 3)$ и $(-1, -3)$.
Случай 2: $t = -1$.
$\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-y)^2 - y^2 = -8$
$y^2 - y^2 = -8$
$0 = -8$.
Это неверное равенство, поэтому в этом случае решений нет.

Ответ: $(1, 3), (-1, -3)$.

4) Из второго уравнения $xy=4$ выразим $y$ через $x$: $y = \frac{4}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение системы $\frac{x}{y} + \frac{4y}{x} = 5$:
$\frac{x}{4/x} + \frac{4(4/x)}{x} = 5$
$\frac{x^2}{4} + \frac{16}{x^2} = 5$
Сделаем замену $u = x^2$. Так как $x$ - действительное число и $x \neq 0$, то $u > 0$.
$\frac{u}{4} + \frac{16}{u} = 5$
Умножим обе части на $4u$ (так как $u > 0$):
$u^2 + 64 = 20u$
$u^2 - 20u + 64 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1=4, u_2=16$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $u = 4$.
$x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = \frac{4}{2} = 2$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$.
Получаем решения: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.
Случай 2: $u = 16$.
$x^2 = 16$, откуда $x_3 = 4$, $x_4 = -4$.
Если $x_3 = 4$, то $y_3 = \frac{4}{4} = 1$.
Если $x_4 = -4$, то $y_4 = \frac{4}{-4} = -1$.
Получаем решения: $(4, 1)$ и $(-4, -1)$.
Всего система имеет четыре решения.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2), (4, 1), (-4, -1)$.

28.21. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4}};$

2) $y = \sqrt{\frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1}};$

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4}} + \sqrt{2x + 5};$

4) $y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7}} - \frac{2}{5 - x}.$

1) $y = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4}}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Получаем систему неравенств:
$\begin{cases} \frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4} \ge 0 \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x^3 - 3x^2 - 10x}{x + 4} \ge 0$ методом интервалов.
Сначала найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x^3 - 3x^2 - 10x = 0$
$x(x^2 - 3x - 10) = 0$
Один корень $x_1 = 0$.
Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
$x_3 = \frac{3 - 7}{2} = -2$
Корни числителя: -2, 0, 5.

Корень знаменателя: $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{x(x + 2)(x - 5)}{x + 4} \ge 0$.
Наносим точки -4, -2, 0, 5 на числовую ось. Точка -4 выколотая (т.к. знаменатель не может быть равен 0), остальные точки закрашенные.
Определяем знаки выражения на интервалах:
$(-\infty; -4)$: знак (+)
$(-4; -2]$: знак (-)
$[-2; 0]$: знак (+)
$[0; 5]$: знак (-)
$[5; +\infty)$: знак (+)
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [-2; 0] \cup [5; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1}}$

Область определения функции задается условиями: выражение под корнем неотрицательно, знаменатель не равен нулю.
$\begin{cases} \frac{-x^3 + 4x^2 + 12x}{x - 1} \ge 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Решим неравенство. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{x^3 - 4x^2 - 12x}{x - 1} \le 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя: $x^3 - 4x^2 - 12x = 0$
$x(x^2 - 4x - 12) = 0$
Один корень $x_1 = 0$.
Решим $x^2 - 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, $x_2 = 6, x_3 = -2$.
Корни числителя: -2, 0, 6.

Корень знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Неравенство можно переписать в виде: $\frac{x(x + 2)(x - 6)}{x - 1} \le 0$.
Наносим точки -2, 0, 1, 6 на числовую ось. Точка 1 выколотая, остальные закрашенные.
Определяем знаки на интервалах:
$(-\infty; -2]$: знак (+)
$[-2; 0]$: знак (-)
$[0; 1)$: знак (+)
$(1; 6]$: знак (-)
$[6; +\infty)$: знак (+)
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in [-2; 0] \cup (1; 6]$.

3) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4}} + \sqrt{2x + 5}$

Область определения функции является пересечением областей определения двух слагаемых. Это требует одновременного выполнения двух условий:
$\begin{cases} \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4} \ge 0 \\ 2x + 5 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $\frac{x^2 - 3x - 10}{x + 4} \ge 0$.
Корни числителя $x^2 - 3x - 10 = 0$ это $x_1 = 5, x_2 = -2$.
Корень знаменателя $x + 4 = 0$ это $x = -4$.
Неравенство: $\frac{(x + 2)(x - 5)}{x + 4} \ge 0$.
Методом интервалов получаем решение: $x \in (-4; -2] \cup [5; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $2x + 5 \ge 0$.
$2x \ge -5$
$x \ge -2.5$
Решение: $x \in [-2.5; +\infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений:
$((-4; -2] \cup [5; +\infty)) \cap [-2.5; +\infty)$.
Пересечение интервала $(-4; -2]$ с $[-2.5; +\infty)$ дает $[-2.5; -2]$.
Пересечение интервала $[5; +\infty)$ с $[-2.5; +\infty)$ дает $[5; +\infty)$.
Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in [-2.5; -2] \cup [5; +\infty)$.

4) $y = \sqrt{\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7}} - \frac{2}{5 - x}$

Область определения функции задается системой условий:
$\begin{cases} \frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7} \ge 0 \\ 5 - x \ne 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $\frac{-x^2 + 2x + 15}{x + 7} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак: $\frac{x^2 - 2x - 15}{x + 7} \le 0$.
Корни числителя $x^2 - 2x - 15 = 0$: $x_1 = 5, x_2 = -3$.
Корень знаменателя $x + 7 = 0$: $x = -7$.
Неравенство: $\frac{(x + 3)(x - 5)}{x + 7} \le 0$.
Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty; -7) \cup [-3; 5]$.

2. Решим условие $5 - x \ne 0$.
$x \ne 5$.

3. Объединим результаты. Из множества $(-\infty; -7) \cup [-3; 5]$ нужно исключить точку $x=5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup [-3; 5)$.

28.22. Найдите значение выражения:

1) $1 + \sin^2 68^\circ - \sin^2 38^\circ - 0.5\sin 106^\circ$;

2) $\sin^2 35^\circ + \sin^2 25^\circ + 0.5\cos 10^\circ - 3$.

1)Для решения воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $ \sin^2{\alpha} - \sin^2{\beta} = \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) $.
Исходное выражение: $ 1 + \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} - 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Применим формулу к части выражения $ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} $:
$ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} = \sin(68^\circ - 38^\circ)\sin(68^\circ + 38^\circ) = \sin{30^\circ}\sin{106^\circ} $.
Мы знаем, что $ \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $.
Следовательно, $ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} = 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$ 1 + 0{,}5\sin{106^\circ} - 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Члены $ 0{,}5\sin{106^\circ} $ и $ -0{,}5\sin{106^\circ} $ взаимно уничтожаются.
В результате получаем: $ 1 + 0 = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

2)Для решения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
Исходное выражение: $ \sin^2{35^\circ} + \sin^2{25^\circ} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Применим формулу к каждому из слагаемых с квадратом синуса:
$ \sin^2{35^\circ} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 35^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos{70^\circ}}{2} $
$ \sin^2{25^\circ} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos{50^\circ}}{2} $
Подставим эти выражения в исходное:
$ \frac{1 - \cos{70^\circ}}{2} + \frac{1 - \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = \frac{1 - \cos{70^\circ} + 1 - \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = \frac{2 - (\cos{70^\circ} + \cos{50^\circ})}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = 1 - \frac{\cos{70^\circ} + \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Теперь используем формулу суммы косинусов: $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ \cos{70^\circ} + \cos{50^\circ} = 2\cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} = 2\cos{60^\circ}\cos{10^\circ} $.
Мы знаем, что $ \cos{60^\circ} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $.
Следовательно, $ \cos{70^\circ} + \cos{50^\circ} = 2 \cdot 0{,}5 \cdot \cos{10^\circ} = \cos{10^\circ} $.
Подставим это значение в наше выражение:
$ 1 - \frac{\cos{10^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Так как $ \frac{\cos{10^\circ}}{2} = 0{,}5\cos{10^\circ} $, то выражение становится:
$ 1 - 0{,}5\cos{10^\circ} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Члены $ -0{,}5\cos{10^\circ} $ и $ +0{,}5\cos{10^\circ} $ взаимно уничтожаются.
В результате получаем: $ 1 - 3 = -2 $.
Ответ: $ -2 $.

28.23. Постройте график и запишите наибольшее или наименьшее значение и ось симметрии графика функции:

1) $y = 2x^2 - 4x + 5;$

2) $y = -x^2 - 6x + 3;$

3) $y = -\frac{3}{4}x^2 - x - 2;$

4) $y = \frac{1}{4}x^2 - x + 1.$

1) $y = 2x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2, b=-4, c=5$. Графиком является парабола. Поскольку коэффициент $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ по формулам $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 3)$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
Наименьшее значение функции равно ординате вершины: $y_{min} = 3$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, 5)$.
График функции представлен на рисунке. Синим цветом показана парабола, красной пунктирной линией — ось симметрии.

Ответ: Наименьшее значение: $3$; ось симметрии: $x=1$.

2) $y = -x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a=-1, b=-6, c=3$. Графиком является парабола. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3$.
$y_0 = -(-3)^2 - 6(-3) + 3 = -9 + 18 + 3 = 12$.
Вершина параболы находится в точке $(-3, 12)$.
Уравнение оси симметрии: $x = -3$.
Наибольшее значение функции: $y_{max} = 12$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$.
Симметричная ей точка относительно оси $x=-3$ будет $(-6, 3)$.
При $x=-1$, $y = -(-1)^2 - 6(-1) + 3 = 8$. Точка $(-1, 8)$.
Симметричная ей точка: $(-5, 8)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наибольшее значение: $12$; ось симметрии: $x=-3$.

3) $y = \frac{3}{4}x^2 - x - 2$

Это квадратичная функция с $a=\frac{3}{4}, b=-1, c=-2$. Графиком является парабола. Так как $a=\frac{3}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
$y_0 = \frac{3}{4}\left(\frac{2}{3}\right)^2 - \frac{2}{3} - 2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9} - \frac{2}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3})$.
Уравнение оси симметрии: $x = \frac{2}{3}$.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -\frac{7}{3}$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Пересечение с OY: при $x=0, y=-2$. Точка $(0, -2)$.
Симметричная точка: $(\frac{4}{3}, -2)$.
При $x=2, y=\frac{3}{4}(2)^2-2-2=3-4=-1$. Точка $(2, -1)$.
Симметричная точка: $(-\frac{2}{3}, -1)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наименьшее значение: $-\frac{7}{3}$; ось симметрии: $x=\frac{2}{3}$.

4) $y = \frac{1}{4}x^2 - x + 1$

Это квадратичная функция с $a=\frac{1}{4}, b=-1, c=1$. Графиком является парабола. Так как $a=\frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет наименьшее значение.
Эту функцию можно представить, выделив полный квадрат: $y = \frac{1}{4}(x^2 - 4x + 4) = \frac{1}{4}(x-2)^2$.
Из этой формы видно, что вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
Наименьшее значение функции (достигается в вершине): $y_{min} = 0$.
Для построения графика найдем несколько точек.
Пересечение с OY: при $x=0, y=1$. Точка $(0, 1)$.
Симметричная точка: $(4, 1)$.
При $x=6, y=\frac{1}{4}(6-2)^2=\frac{1}{4}(16)=4$. Точка $(6, 4)$.
Симметричная точка: $(-2, 4)$.
График функции представлен на рисунке.

Ответ: Наименьшее значение: $0$; ось симметрии: $x=2$.

28.24. Мяч подбрасывается вертикально вверх. Его высоту над землей вычисляют по формуле $h(t) = -3t^2 + 12t$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Используя программу “Живая геометрия”, постройте график этой функции. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?

Постройте график этой функции.

Высота мяча над землей задается квадратичной функцией $h(t) = -3t^2 + 12t$. Графиком этой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы, которая соответствует максимальной высоте подъема мяча.

Абсцисса вершины (время достижения максимальной высоты) вычисляется по формуле $t_в = -b / (2a)$:

$t_в = -12 / (2 \cdot (-3)) = -12 / (-6) = 2$ секунды.

Ордината вершины (максимальная высота) равна значению функции в этой точке:

$h(2) = -3(2)^2 + 12(2) = -3 \cdot 4 + 24 = -12 + 24 = 12$ метров.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; 12)$.

Найдем точки пересечения графика с осью времени (когда мяч находится на земле, $h(t) = 0$):

$-3t^2 + 12t = 0$

$-3t(t - 4) = 0$

Отсюда $t_1 = 0$ (момент броска) и $t_2 = 4$ (момент падения).

Таким образом, мяч находился в полете 4 секунды. На основе этих данных строим график функции на интервале времени от $t=0$ до $t=4$.

Ответ: График зависимости высоты мяча от времени представлен выше.

Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 9 м?

Чтобы найти время, в течение которого мяч находился на высоте не менее 9 метров, нужно решить неравенство $h(t) \ge 9$. На графике это соответствует участку параболы, который лежит на и выше пунктирной линии $h=9$.

$-3t^2 + 12t \ge 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$-3t^2 + 12t - 9 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 3$

Поскольку парабола $y = t^2 - 4t + 3$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $t^2 - 4t + 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 \le t \le 3$.

Это означает, что мяч находился на высоте не менее 9 метров в промежутке времени от 1-й до 3-й секунды.

Чтобы найти общую продолжительность этого периода, вычтем начальное время из конечного:

$\Delta t = 3 - 1 = 2$ секунды.

Ответ: 2 секунды.