Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каком случае при решении комбинаторной задачи используют перестановки без повторений; сочетания без повторений; размещения без повторений?

Для решения комбинаторных задач важно правильно определить, имеет ли значение порядок элементов и используются ли все элементы из исходного множества. На основе этих двух критериев выбирается одна из трех основных формул комбинаторики без повторений.

перестановки без повторений

Перестановки без повторений используются в задачах, где необходимо найти количество способов, которыми можно упорядочить все элементы заданного множества. Ключевые условия для их применения: в расположении участвуют все $n$ элементов исходного множества, порядок их расположения важен, и все элементы различны (не повторяются).

Например, если нужно определить, сколькими способами можно расставить 7 разных книг на книжной полке, мы используем перестановки. Мы переставляем все 7 книг, и порядок их следования имеет значение.

Число перестановок без повторений из $n$ элементов вычисляется по формуле: $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Ответ: Перестановки без повторений используются, когда нужно найти число всех возможных упорядоченных последовательностей, которые можно составить из всех элементов данного конечного множества.

сочетания без повторений

Сочетания без повторений применяются, когда нам нужно выбрать подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, причем порядок выбора элементов не имеет значения. Основные условия: выбирается $k$ элементов из $n$ (где $k \le n$), порядок выбора элементов не важен, и все элементы исходного множества различны.

Пример задачи: сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из класса, в котором 25 учеников? Здесь мы выбираем группу из 3 человек, и неважно, в каком порядке их выбрали – состав группы от этого не изменится.

Число сочетаний без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ответ: Сочетания без повторений используются, когда нужно найти число способов выбрать неупорядоченное подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.

размещения без повторений

Размещения без повторений используются в задачах, где нужно не только выбрать подмножество из $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, но и расположить их в определенном порядке. Ключевые условия: выбирается $k$ элементов из $n$ (где $k \le n$), порядок расположения выбранных элементов важен, и все элементы исходного множества различны.

Например, если в соревновании по бегу участвуют 10 спортсменов, и нам нужно определить, сколькими способами можно распределить золотую, серебряную и бронзовую медали. Мы выбираем 3 спортсменов из 10, и порядок важен, так как (Спортсмен А - золото, Спортсмен Б - серебро) – это не то же самое, что (Спортсмен Б - золото, Спортсмен А - серебро).

Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Ответ: Размещения без повторений используются, когда нужно найти число способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов.

10.1. Найдите значение выражения:

1) $\frac{P_7}{P_4}$;

2) $\frac{A_6^5}{P_7}$;

3) $1 + \frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$;

4) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5} - 2.

1) Для решения используем формулу числа перестановок $P_n = n!$.
Выражение $\frac{P_7}{P_4}$ можно записать как $\frac{7!}{4!}$.
Расписываем факториалы и сокращаем:
$\frac{7!}{4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 6 \cdot 7 = 210$.
Ответ: $210$.

2) Используем формулу для числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа перестановок $P_n = n!$.
Сначала найдем значение $A_6^5$:
$A_6^5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6!$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{A_6^5}{P_7} = \frac{6!}{7!} = \frac{6!}{6! \cdot 7} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

3) Вычислим значение каждой дроби по отдельности, используя свойство факториала $n! = (n-1)! \cdot n$.
$\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{7! \cdot 8}{7!} = 8$.
$\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{5! \cdot 6} = \frac{1}{6}$.
Теперь подставим полученные значения в выражение и выполним сложение:
$1 + \frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6} = 1 + 8 + \frac{1}{6} = 9 + \frac{1}{6} = 9\frac{1}{6}$.
Ответ: $9\frac{1}{6}$.

4) Вычислим значение каждой дроби по отдельности.
$\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{7! \cdot 8 \cdot 9}{7!} = 8 \cdot 9 = 72$.
$\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7}{5!} = 6 \cdot 7 = 42$.
Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним вычисления:
$\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5} - 2 = 72 - 42 - 2 = 30 - 2 = 28$.
Ответ: $28$.

10.2. Найдите число нечетных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 1, 8, 6, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

Задача состоит в том, чтобы найти количество нечетных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 2, 1, 8, 6 без их повторения.

Четырехзначное число имеет четыре позиции (разряда): тысячи, сотни, десятки и единицы.

1. Определение последней цифры.
По условию, число должно быть нечетным. Число является нечетным, если его последняя цифра (цифра в разряде единиц) нечетная. В заданном наборе цифр {2, 1, 8, 6} только одна цифра является нечетной — это 1. Следовательно, на последнем месте обязательно должна стоять цифра 1. Количество вариантов для последней цифры: 1.

2. Определение остальных цифр.
Поскольку цифры в числе не могут повторяться, а цифра 1 уже использована, для оставшихся трех позиций (тысячи, сотни, десятки) остаются цифры {2, 8, 6}.

- На позицию тысяч можно поставить любую из трех оставшихся цифр (2, 8 или 6). Количество вариантов: 3.

- После того как мы выбрали цифру для разряда тысяч, для позиции сотен остаются две цифры. Например, если мы выбрали 2 для тысяч, остаются 8 и 6. Количество вариантов: 2.

- Для позиции десятков остается только одна неиспользованная цифра. Количество вариантов: 1.

3. Расчет общего количества чисел.
Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции. Это является применением комбинаторного правила произведения. Количество способов для первых трех позиций представляет собой число перестановок из 3-х элементов ($P_3$).

Общее число вариантов = (варианты для тысяч) × (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц).

Количество чисел = $3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$.

Таким образом, можно составить 6 различных нечетных четырехзначных чисел. Это числа: 2681, 2861, 6281, 6821, 8261, 8621.

Ответ: 6

10.3. Решите уравнение:

1) $A_x^1 = 5;$

2) $A_x^1 = 5x;$

3) $A_x^2 = 5x;$

4) $A_x^2 = 4x + 24.$

1) $A_x^1 = 5$

Число размещений из $x$ элементов по $k$ определяется по формуле $A_x^k = \frac{x!}{(x-k)!}$. Для того чтобы выражение $A_x^k$ имело смысл, необходимо, чтобы $x$ было целым числом и выполнялось условие $x \ge k$.

В данном случае $k=1$, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x \ge 1$, где $x$ — целое число.

Преобразуем левую часть уравнения: $A_x^1 = \frac{x!}{(x-1)!} = \frac{x \cdot (x-1)!}{(x-1)!} = x$.

Тогда исходное уравнение принимает вид: $x = 5$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Число 5 является целым и $5 \ge 1$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: $x=5$.

2) $A_x^1 = 5x$

ОДЗ для данного уравнения: $x$ — целое число и $x \ge 1$.

Как и в предыдущем пункте, $A_x^1 = x$.

Подставим это в уравнение: $x = 5x$

$5x - x = 0$

$4x = 0$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Число 0 не удовлетворяет условию $x \ge 1$. Следовательно, уравнение не имеет решений в своей области определения.

Ответ: корней нет.

3) $A_x^2 = 5x$

ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Преобразуем левую часть уравнения: $A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = \frac{x \cdot (x-1) \cdot (x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$.

Подставим это в исходное уравнение: $x(x-1) = 5x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $x^2 - x - 5x = 0$

$x^2 - 6x = 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(x-6) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, поэтому это посторонний корень. $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ (6 — целое число и $6 \ge 2$), поэтому это решение.

Ответ: $x=6$.

4) $A_x^2 = 4x + 24$

ОДЗ: $x$ — целое число и $x \ge 2$.

Как и в предыдущем пункте, $A_x^2 = x(x-1)$.

Подставим это в уравнение: $x(x-1) = 4x + 24$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение: $x^2 - x = 4x + 24$

$x^2 - x - 4x - 24 = 0$

$x^2 - 5x - 24 = 0$

Решим уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 11}{2}$.

$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ. $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x \ge 2$ (8 — целое число и $8 \ge 2$), поэтому это решение. $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, поэтому это посторонний корень.

Ответ: $x=8$.

10.4. Найдите число способов покупки 1 кг яблок и 1 кг мандаринов, если в магазине имеется 6 сортов яблок и 3 сорта мандаринов.

10.4. Для решения данной задачи используется основное правило комбинаторики — правило произведения. Покупка состоит из двух независимых событий: выбор сорта яблок и выбор сорта мандаринов.

1. Выбор яблок. По условию, в магазине имеется 6 сортов яблок. Следовательно, выбрать 1 кг яблок одного сорта можно 6-ю способами.

2. Выбор мандаринов. По условию, в магазине имеется 3 сорта мандаринов. Следовательно, выбрать 1 кг мандаринов одного сорта можно 3-мя способами.

Чтобы найти общее число способов покупки, состоящей из 1 кг яблок и 1 кг мандаринов, необходимо перемножить количество способов выбора яблок на количество способов выбора мандаринов.

Пусть $N_я$ — число способов выбрать яблоки, а $N_м$ — число способов выбрать мандарины. Тогда общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = N_я \times N_м$

Подставим известные значения:

$N = 6 \times 3 = 18$

Таким образом, существует 18 различных способов сделать данную покупку.

Ответ: 18.

10.5. Докажите равенство:

1) $C_7^4 + C_7^3 = C_8^4$;

2) $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$;

3) $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + ... + C_5^5 = 32$.

1) Для доказательства этого равенства воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов, известным как тождество Паскаля: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. В левой части нашего равенства $C_7^4 + C_7^3$ мы имеем $n=7$ и $k=4$. Применяя тождество Паскаля, получаем: $C_7^4 + C_7^3 = C_{7+1}^4 = C_8^4$. Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Проверим равенство прямым вычислением: $C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$. $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35$. $C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70$. Складываем левую часть: $35 + 35 = 70$. Так как $70=70$, равенство верно.
Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства равенства $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = C_{10}^5$ применим тождество Паскаля ($C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$) последовательно. Сначала рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $C_8^4 + C_8^3$. По тождеству Паскаля при $n=8$ и $k=4$: $C_8^4 + C_8^3 = C_{8+1}^4 = C_9^4$. Теперь подставим этот результат в исходное выражение: $C_9^4 + C_9^5$. Снова применим тождество Паскаля, на этот раз при $n=9$ и $k=5$: $C_9^5 + C_9^4 = C_{9+1}^5 = C_{10}^5$. Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства в правую: $C_8^4 + C_8^3 + C_9^5 = (C_8^4 + C_8^3) + C_9^5 = C_9^4 + C_9^5 = C_{10}^5$. Равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

3) Данное равенство является частным случаем свойства биномиальных коэффициентов, которое выводится из формулы бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Если в этой формуле положить $a=1$ и $b=1$, то получим: $(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k$, что приводит к тождеству: $2^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n$. В нашем случае $n=5$. Подставляя это значение в тождество, получаем: $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5$. Вычислим правую часть: $2^5 = 32$. Следовательно, $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + ... + C_5^5 = 32$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

10.6. Вычислите:

1) $\frac{P_4}{P_8} : A_8^4;$

2) $\frac{P_5}{P_9} : A_9^5;$

3) $\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} : A_{20}^3;$

4) $\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} : C_6^5 : C_{11}^{11}.$

1) Для решения данной задачи воспользуемся формулами для числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_4}{P_8} \cdot A_8^4$.
Подставим определения в выражение:
$P_4 = 4!$
$P_8 = 8!$
$A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{P_4}{P_8} \cdot A_8^4 = \frac{4!}{8!} \cdot \frac{8!}{4!}$
Сократим одинаковые множители ($8!$ в числителе и знаменателе, а также $4!$ в числителе и знаменателе):
$\frac{4!}{8!} \cdot \frac{8!}{4!} = 1$
Ответ: 1

2) Используем те же формулы, что и в предыдущем пункте: $P_n = n!$ и $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_5}{P_9} \cdot A_9^5$.
Подставим определения в выражение:
$P_5 = 5!$
$P_9 = 9!$
$A_9^5 = \frac{9!}{(9-5)!} = \frac{9!}{4!}$
Подставляем в исходное выражение:
$\frac{P_5}{P_9} \cdot A_9^5 = \frac{5!}{9!} \cdot \frac{9!}{4!}$
Сокращаем $9!$:
$\frac{5!}{4!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5$
Ответ: 5

3) Используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} : A_{20}^3$.
Подставим определения в выражение:
$P_{20} = 20!$
$A_{20}^{15} = \frac{20!}{(20-15)!} = \frac{20!}{5!}$
$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!}$
Подставим эти значения в выражение. Сначала вычислим частное в скобках:
$\frac{P_{20}}{A_{20}^{15}} = \frac{20!}{\frac{20!}{5!}} = 20! \cdot \frac{5!}{20!} = 5!$
Теперь разделим полученный результат на $A_{20}^3$:
$5! : A_{20}^3 = 5! : \frac{20!}{17!} = 5! \cdot \frac{17!}{20!}$
Распишем $20!$ как $20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!$ и сократим:
$5! \cdot \frac{17!}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!} = \frac{5!}{20 \cdot 19 \cdot 18}$
Вычислим значение $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
$\frac{120}{20 \cdot 19 \cdot 18} = \frac{120}{6840} = \frac{12}{684}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:
$\frac{12}{684} = \frac{1}{57}$
Ответ: $\frac{1}{57}$

4) Для решения используем формулы для числа перестановок $P_n = n!$, числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ и числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} : C_6^5 : C_{11}^{11}$.
Вычислим значение каждого компонента выражения по отдельности.
$\frac{P_{14}}{A_{14}^{10}} = \frac{14!}{\frac{14!}{(14-10)!}} = \frac{14!}{\frac{14!}{4!}} = 14! \cdot \frac{4!}{14!} = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$.
$C_{11}^{11} = \frac{11!}{11!(11-11)!} = \frac{11!}{11! \cdot 0!} = 1$, так как по определению $0!=1$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним деление последовательно:
$24 : 6 : 1 = 4 : 1 = 4$
Ответ: 4

Преобразование каких частей тождества можно выполнять для его доказательства?

Для доказательства тождества, то есть равенства, которое является верным для всех допустимых значений входящих в него переменных, можно использовать несколько основных методов. Все они основаны на выполнении тождественных (равносильных) преобразований над левой и/или правой частями равенства.

Преобразование левой части тождества

Этот метод заключается в том, чтобы с помощью тождественных преобразований (таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.) изменить левую часть равенства таким образом, чтобы она стала полностью идентичной правой части. Правая часть при этом не изменяется. Например, докажем тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Преобразуем левую часть: $(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой ($a^2 - b^2 = a^2 - b^2$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Можно выполнять тождественные преобразования левой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части.

Преобразование правой части тождества

Этот метод является зеркальным отражением предыдущего. Выполняются тождественные преобразования над правой частью равенства, чтобы привести её к виду левой части. Левая часть при этом остается неизменной. Например, докажем тождество $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Преобразуем правую часть: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.
Правая часть стала равна левой ($a^3 - b^3 = a^3 - b^3$), что и требовалось доказать.

Ответ: Можно выполнять тождественные преобразования правой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной левой части.

Одновременное (независимое) преобразование обеих частей тождества

Иногда бывает сложно или громоздко привести одну часть к другой напрямую. В таких случаях можно преобразовывать обе части равенства по отдельности, стремясь привести их к одному и тому же выражению. Если в результате преобразований левая часть $L$ приводится к виду $E$, и правая часть $R$ также приводится к виду $E$, то из верных равенств $L=E$ и $R=E$ следует истинность исходного равенства $L=R$.
Например, докажем тождество $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Преобразуем левую часть, домножив числитель и знаменатель на $(1+\cos \alpha)$: $\frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{1-\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
В данном случае удалось привести левую часть к правой, но этот метод также иллюстрирует идею приведения к общему виду, если бы мы остановились на промежуточном шаге для обеих частей.

Ответ: Можно преобразовывать левую и правую части независимо друг от друга, чтобы показать, что они обе равны некоторому третьему выражению.

Доказательство с помощью разности

Этот метод заключается в том, чтобы показать, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Для доказательства тождества $A=B$ составляется разность $A-B$, которая затем тождественными преобразованиями приводится к нулю. Если $A-B=0$, то это равносильно тому, что $A=B$.
Например, докажем тождество $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Составим разность левой и правой частей:
$(a+b)^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = (a^2+2ab+b^2) - a^2 - 2ab - b^2 = 0$.
Так как разность равна нулю, тождество доказано.

Ответ: Можно преобразовать разность левой и правой частей тождества и доказать, что она тождественно равна нулю.

29.1. Упростите тригонометрическое выражение:

1) $cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) - sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right);$

2) $8tg945^\circ + tg(810^\circ + \alpha) - ctg(450^\circ - \alpha);$

3) $sin(2\alpha - \pi) + 2 cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right);$

4) $sin(\alpha + \pi) + tg(\alpha - \pi);$

5) $sin(23\pi + 2018) + cos\left(\frac{31\pi}{2} + 2018\right);$

6) $sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) + cos(68\pi - \alpha);$

7) $tg(9\pi - \alpha) + ctg\left(\frac{57\pi}{2} + \alpha\right);$

8) $\frac{tg\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right)cos\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)cos(\alpha - 4\pi)}{ctg(5\pi - \alpha) \cdot sin\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right)};$

9) $sin(7\pi - \alpha)cos\left(\frac{15\pi}{2} + \beta\right) - sin\left(\frac{19\pi}{2} - \alpha\right)cos(6\pi - \beta);$

10) $\frac{sin(4\pi - \alpha)tg\left(\frac{25\pi}{2} - \alpha\right)}{cos\left(\frac{9\pi}{2} + \alpha\right)ctg(17\pi - \alpha)};$

11) $tg^2(540^\circ - \alpha)\left(\frac{1}{cos^2(630^\circ + \alpha)} - 1\right);$

12) $tg(13\pi - \alpha)tg\left(\frac{13\pi}{2} + \alpha\right) - sin(\alpha - 22\pi).$

1) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся формулами приведения.
Сначала преобразуем $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) $. Так как косинус — чётная функция, $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Теперь преобразуем $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $. Так как синус — нечётная функция, $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения, $ -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Подставим полученные выражения в исходное: $ \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) = \sin(\alpha) + \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) $.

2) Рассмотрим выражение $ 8\text{tg}945^\circ + \text{tg}(810^\circ + \alpha) - \text{ctg}(450^\circ - \alpha) $.
Упростим каждый член по отдельности, используя периодичность тригонометрических функций. Период тангенса и котангенса равен $ 180^\circ $.
$ \text{tg}945^\circ = \text{tg}(5 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \text{tg}(45^\circ) = 1 $.
$ \text{tg}(810^\circ + \alpha) = \text{tg}(4 \cdot 180^\circ + 90^\circ + \alpha) = \text{tg}(90^\circ + \alpha) $. По формуле приведения, это $ -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \text{ctg}(450^\circ - \alpha) = \text{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 90^\circ - \alpha) = \text{ctg}(90^\circ - \alpha) $. По формуле приведения, это $ \text{tg}(\alpha) $.
Подставляем всё в исходное выражение: $ 8 \cdot 1 + (-\text{ctg}(\alpha)) - \text{tg}(\alpha) = 8 - \text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ 8 - \text{tg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) $.

3) Упростим выражение $ \sin(2\alpha - \pi) + 2 \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) $.
$ \sin(2\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - 2\alpha)) = -\sin(\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.
$ \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $. По формуле приведения (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется), это $ \sin(\alpha) $.
$ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения (угол в III четверти, синус отрицателен, функция меняется), $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Значит, $ -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ -\sin(2\alpha) + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, получаем: $ -\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

4) Упростим $ \sin(\alpha + \pi) + \text{tg}(\alpha - \pi) $.
По формуле приведения, $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $.
Используя периодичность тангенса (период $ \pi $), $ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{tg}(\alpha) $.
Складываем полученные выражения: $ -\sin(\alpha) + \text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.

5) Упростим $ \sin(23\pi + 2018) + \cos(\frac{31\pi}{2} + 2018) $.
Используя периодичность синуса, $ \sin(23\pi + 2018) = \sin(22\pi + \pi + 2018) = \sin(\pi + 2018) = -\sin(2018) $.
Для косинуса, $ \frac{31\pi}{2} = \frac{28\pi + 3\pi}{2} = 14\pi + \frac{3\pi}{2} $. Тогда $ \cos(\frac{31\pi}{2} + 2018) = \cos(14\pi + \frac{3\pi}{2} + 2018) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2018) $. По формуле приведения, это $ \sin(2018) $.
Выражение становится: $ -\sin(2018) + \sin(2018) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

6) Упростим $ \sin(\frac{35\pi}{2} - \alpha) + \cos(68\pi - \alpha) $.
Разложим $ \frac{35\pi}{2} = \frac{32\pi + 3\pi}{2} = 16\pi + \frac{3\pi}{2} $. Тогда $ \sin(\frac{35\pi}{2} - \alpha) = \sin(16\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Так как период косинуса $ 2\pi $, то $ \cos(68\pi - \alpha) = \cos(34 \cdot 2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Складываем: $ -\cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

7) Упростим $ \text{tg}(9\pi - \alpha) + \text{ctg}(\frac{57\pi}{2} + \alpha) $.
Период тангенса равен $ \pi $, поэтому $ \text{tg}(9\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Разложим $ \frac{57\pi}{2} = \frac{56\pi + \pi}{2} = 28\pi + \frac{\pi}{2} $. Тогда $ \text{ctg}(\frac{57\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}(28\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ -\text{tg}(\alpha) + (-\text{tg}(\alpha)) = -2\text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ -2\text{tg}(\alpha) $.

8) Упростим дробь $ \frac{\text{tg}(\frac{11\pi}{2} + \alpha) \cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) \cos(\alpha - 4\pi)}{\text{ctg}(5\pi - \alpha) \sin(\frac{11\pi}{2} + \alpha)} $.
Упростим числитель:
$ \text{tg}(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(4\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha) $.
Числитель: $ (-\text{ctg}(\alpha))(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \text{ctg}(5\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \sin(4\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Знаменатель: $ (-\text{ctg}(\alpha))(-\cos(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha)\cos(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{\text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)\cos(\alpha)} = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $.

9) Упростим $ \sin(7\pi - \alpha)\cos(\frac{15\pi}{2} + \beta) - \sin(\frac{19\pi}{2} - \alpha)\cos(6\pi - \beta) $.
$ \sin(7\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
$ \cos(\frac{15\pi}{2} + \beta) = \cos(6\pi + \frac{3\pi}{2} + \beta) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = \sin(\beta) $.
$ \sin(\frac{19\pi}{2} - \alpha) = \sin(8\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
$ \cos(6\pi - \beta) = \cos(-\beta) = \cos(\beta) $.
Подставляем в выражение: $ \sin(\alpha)\sin(\beta) - (-\cos(\alpha))\cos(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\alpha)\cos(\beta) $.
Это формула косинуса разности: $ \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha - \beta) $.
Ответ: $ \cos(\alpha - \beta) $.

10) Упростим дробь $ \frac{\sin(4\pi - \alpha)\text{tg}(\frac{25\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{9\pi}{2} + \alpha)\text{ctg}(17\pi - \alpha)} $.
Упростим числитель:
$ \sin(4\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \text{tg}(\frac{25\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(12\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.
Числитель: $ -\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \cos(\frac{9\pi}{2} + \alpha) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \text{ctg}(17\pi - \alpha) = \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
Знаменатель: $ (-\sin(\alpha))(-\text{ctg}(\alpha)) = \sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{-\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha)}{\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha)} = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

11) Упростим $ \text{tg}^2(540^\circ - \alpha) \left( \frac{1}{\cos^2(630^\circ + \alpha)} - 1 \right) $.
$ 540^\circ = 3 \cdot 180^\circ $. $ \text{tg}(540^\circ - \alpha) = \text{tg}(3 \cdot 180^\circ - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $. Тогда $ \text{tg}^2(540^\circ - \alpha) = (-\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $.
$ 630^\circ = 360^\circ + 270^\circ $. $ \cos(630^\circ + \alpha) = \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $. Тогда $ \cos^2(630^\circ + \alpha) = \sin^2(\alpha) $.
Выражение в скобках: $ \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1 $. Из основного тригонометрического тождества $ 1 + \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $, поэтому $ \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1 = \text{ctg}^2(\alpha) $.
Перемножаем: $ \text{tg}^2(\alpha) \cdot \text{ctg}^2(\alpha) = \text{tg}^2(\alpha) \cdot \frac{1}{\text{tg}^2(\alpha)} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

12) Упростим $ \text{tg}(13\pi - \alpha)\text{tg}(\frac{13\pi}{2} + \alpha) - \sin(\alpha - 22\pi) $.
$ \text{tg}(13\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
$ \text{tg}(\frac{13\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(\alpha - 22\pi) = \sin(\alpha - 11 \cdot 2\pi) = \sin(\alpha) $.
Подставляем в выражение: $ (-\text{tg}(\alpha))(-\text{ctg}(\alpha)) - \sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha)\text{ctg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.
Так как $ \text{tg}(\alpha)\text{ctg}(\alpha) = 1 $, то выражение равно $ 1 - \sin(\alpha) $.
Ответ: $ 1 - \sin(\alpha) $.

29.2. Найдите значение выражения, предварительно преобразовав его:

1) $\sin 7^\circ \cos 23^\circ + \sin 23^\circ \cos 7^\circ + 1;$

2) $\frac{4 \sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ};$

3) $\frac{\operatorname{tg} 22^\circ + \operatorname{tg} 23^\circ}{1 - \operatorname{tg} 22^\circ \operatorname{tg} 23^\circ};$

4) $\sin 64^\circ \cos 26^\circ + \cos 64^\circ \sin 26^\circ - \sin 30^\circ;$

5) $\frac{\cos 14^\circ + \sin 14^\circ + \cos 42^\circ + \sin 42^\circ}{\sqrt{2} \cos 14^\circ \sin 73^\circ};$

6) $\frac{\sin 36^\circ \sin 40^\circ + \cos 62^\circ + \cos 42^\circ}{4 \cos 6^\circ \cos 4^\circ \sin 38^\circ};$

7) $\sin 8^\circ - \sin 10^\circ - \sin 12^\circ + \sin 14^\circ;$

8) $\frac{\cos 5^\circ + \cos 85^\circ + \sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{4 \sqrt{2} \cos 5^\circ \sin 55^\circ}.$

1) Используем формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Выражение $\sin7^\circ \cos23^\circ + \sin23^\circ \cos7^\circ$ является развернутой формулой для $\sin(7^\circ + 23^\circ)$.
$\sin7^\circ \cos23^\circ + \sin23^\circ \cos7^\circ + 1 = \sin(7^\circ + 23^\circ) + 1 = \sin(30^\circ) + 1$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: 1.5.

2) Преобразуем числитель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
$\sin65^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \cos25^\circ$.
Тогда числитель $4\sin25^\circ \sin65^\circ$ становится $4\sin25^\circ \cos25^\circ$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$4\sin25^\circ \cos25^\circ = 2 \cdot (2\sin25^\circ \cos25^\circ) = 2\sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin50^\circ$.
Теперь все выражение имеет вид: $\frac{2\sin50^\circ}{\cos40^\circ}$.
Снова используем формулу приведения: $\sin50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos40^\circ$.
$\frac{2\cos40^\circ}{\cos40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.

3) Используем формулу тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
Выражение $\frac{\tan22^\circ + \tan23^\circ}{1 - \tan22^\circ \tan23^\circ}$ соответствует этой формуле при $\alpha = 22^\circ$ и $\beta = 23^\circ$.
$\frac{\tan22^\circ + \tan23^\circ}{1 - \tan22^\circ \tan23^\circ} = \tan(22^\circ + 23^\circ) = \tan(45^\circ)$.
Так как $\tan(45^\circ) = 1$.
Ответ: 1.

4) Используем формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin64^\circ \cos26^\circ + \cos64^\circ \sin26^\circ - \sin30^\circ = \sin(64^\circ + 26^\circ) - \sin30^\circ = \sin(90^\circ) - \sin30^\circ$.
Мы знаем, что $\sin(90^\circ) = 1$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0.5.

5) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(\cos14^\circ + \cos42^\circ) + (\sin14^\circ + \sin42^\circ)$.
Применим формулы суммы в произведение: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ и $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos42^\circ + \cos14^\circ = 2\cos\frac{42^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-14^\circ}{2} = 2\cos28^\circ\cos14^\circ$.
$\sin42^\circ + \sin14^\circ = 2\sin\frac{42^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-14^\circ}{2} = 2\sin28^\circ\cos14^\circ$.
Числитель: $2\cos28^\circ\cos14^\circ + 2\sin28^\circ\cos14^\circ = 2\cos14^\circ(\cos28^\circ + \sin28^\circ)$.
Преобразуем выражение в скобках: $\cos28^\circ + \sin28^\circ = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos28^\circ + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin28^\circ) = \sqrt{2}(\cos45^\circ\cos28^\circ + \sin45^\circ\sin28^\circ) = \sqrt{2}\cos(45^\circ-28^\circ) = \sqrt{2}\cos17^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos17^\circ = \sin(90^\circ-17^\circ) = \sin73^\circ$.
Таким образом, числитель равен $2\cos14^\circ \cdot \sqrt{2}\sin73^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{2\sqrt{2}\cos14^\circ \sin73^\circ}{\sqrt{2}\cos14^\circ \sin73^\circ} = 2$.
Ответ: 2.

6) Заданное выражение, вероятно, содержит опечатку в числителе. Если предположить, что вместо произведения $\sin36^\circ \sin40^\circ$ должна быть сумма $\sin36^\circ + \sin40^\circ$, то решение становится последовательным и приводит к простому ответу. Решим задачу с этим предположением.
Выражение: $\frac{\sin36^\circ + \sin40^\circ + \cos62^\circ + \cos42^\circ}{4\cos6^\circ \cos4^\circ \sin38^\circ}$.
Преобразуем числитель, используя формулы приведения: $\cos62^\circ = \sin(90^\circ-62^\circ) = \sin28^\circ$, $\cos42^\circ = \sin(90^\circ-42^\circ) = \sin48^\circ$.
Числитель: $\sin36^\circ + \sin40^\circ + \sin28^\circ + \sin48^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу произведения косинусов: $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)$.
$4\cos6^\circ \cos4^\circ \sin38^\circ = 2(2\cos6^\circ \cos4^\circ) \sin38^\circ = 2(\cos2^\circ + \cos10^\circ)\sin38^\circ = 2\sin38^\circ\cos2^\circ + 2\sin38^\circ\cos10^\circ$.
Применим формулу произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
$2\sin38^\circ\cos2^\circ = \sin(38^\circ+2^\circ) + \sin(38^\circ-2^\circ) = \sin40^\circ + \sin36^\circ$.
$2\sin38^\circ\cos10^\circ = \sin(38^\circ+10^\circ) + \sin(38^\circ-10^\circ) = \sin48^\circ + \sin28^\circ$.
Знаменатель: $\sin40^\circ + \sin36^\circ + \sin48^\circ + \sin28^\circ$.
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.
Ответ: 1.

7) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(\sin14^\circ + \sin8^\circ) - (\sin12^\circ + \sin10^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin14^\circ + \sin8^\circ = 2\sin\frac{14^\circ+8^\circ}{2}\cos\frac{14^\circ-8^\circ}{2} = 2\sin11^\circ\cos3^\circ$.
$\sin12^\circ + \sin10^\circ = 2\sin\frac{12^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{12^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin11^\circ\cos1^\circ$.
Числитель: $2\sin11^\circ\cos3^\circ - 2\sin11^\circ\cos1^\circ = 2\sin11^\circ(\cos3^\circ - \cos1^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos3^\circ - \cos1^\circ = -2\sin\frac{3^\circ+1^\circ}{2}\sin\frac{3^\circ-1^\circ}{2} = -2\sin2^\circ\sin1^\circ$.
Числитель: $2\sin11^\circ(-2\sin2^\circ\sin1^\circ) = -4\sin11^\circ\sin2^\circ\sin1^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{-4\sin11^\circ\sin2^\circ\sin1^\circ}{4\sin11^\circ \cos1^\circ \sin^2 1^\circ} = \frac{-\sin2^\circ\sin1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin2^\circ = 2\sin1^\circ\cos1^\circ$:
$\frac{-(2\sin1^\circ\cos1^\circ)\sin1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ} = \frac{-2\cos1^\circ\sin^2 1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ} = -2$.
Ответ: -2.

8) Преобразуем числитель, используя формулы приведения: $\cos85^\circ = \sin5^\circ$, $\sin75^\circ = \cos15^\circ$.
Числитель: $\cos5^\circ + \sin5^\circ + \cos15^\circ + \sin15^\circ = (\cos5^\circ+\sin5^\circ) + (\cos15^\circ+\sin15^\circ)$.
Преобразуем суммы в скобках: $\cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha+45^\circ)$.
$\cos5^\circ + \sin5^\circ = \sqrt{2}\sin(5^\circ+45^\circ) = \sqrt{2}\sin50^\circ$.
$\cos15^\circ + \sin15^\circ = \sqrt{2}\sin(15^\circ+45^\circ) = \sqrt{2}\sin60^\circ$.
Числитель: $\sqrt{2}\sin50^\circ + \sqrt{2}\sin60^\circ = \sqrt{2}(\sin50^\circ + \sin60^\circ)$.
Исходное выражение: $\frac{\sqrt{2}(\sin50^\circ + \sin60^\circ)}{4\sqrt{2}\cos5^\circ \sin55^\circ} = \frac{\sin50^\circ + \sin60^\circ}{4\cos5^\circ \sin55^\circ}$.
Используем формулы приведения: $\sin50^\circ = \cos40^\circ$, $\sin55^\circ = \cos35^\circ$.
$\frac{\cos40^\circ + \sin60^\circ}{4\cos5^\circ \cos35^\circ}$.
Преобразуем знаменатель: $4\cos5^\circ\cos35^\circ = 2(2\cos5^\circ\cos35^\circ) = 2(\cos(35-5)^\circ+\cos(35+5)^\circ) = 2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)$.
Выражение: $\frac{\cos40^\circ + \sin60^\circ}{2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)}$.
Так как $\sin60^\circ = \cos30^\circ$, числитель равен выражению в скобках в знаменателе.
$\frac{\cos40^\circ + \cos30^\circ}{2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0.5.