Номер 29.1, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.1. Упростите тригонометрическое выражение:

1) $cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) - sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right);$

2) $8tg945^\circ + tg(810^\circ + \alpha) - ctg(450^\circ - \alpha);$

3) $sin(2\alpha - \pi) + 2 cos\left(\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right);$

4) $sin(\alpha + \pi) + tg(\alpha - \pi);$

5) $sin(23\pi + 2018) + cos\left(\frac{31\pi}{2} + 2018\right);$

6) $sin\left(\frac{35\pi}{2} - \alpha\right) + cos(68\pi - \alpha);$

7) $tg(9\pi - \alpha) + ctg\left(\frac{57\pi}{2} + \alpha\right);$

8) $\frac{tg\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right)cos\left(\frac{7\pi}{2} - \alpha\right)cos(\alpha - 4\pi)}{ctg(5\pi - \alpha) \cdot sin\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right)};$

9) $sin(7\pi - \alpha)cos\left(\frac{15\pi}{2} + \beta\right) - sin\left(\frac{19\pi}{2} - \alpha\right)cos(6\pi - \beta);$

10) $\frac{sin(4\pi - \alpha)tg\left(\frac{25\pi}{2} - \alpha\right)}{cos\left(\frac{9\pi}{2} + \alpha\right)ctg(17\pi - \alpha)};$

11) $tg^2(540^\circ - \alpha)\left(\frac{1}{cos^2(630^\circ + \alpha)} - 1\right);$

12) $tg(13\pi - \alpha)tg\left(\frac{13\pi}{2} + \alpha\right) - sin(\alpha - 22\pi).$

1) Для упрощения выражения $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) - \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $ воспользуемся формулами приведения.
Сначала преобразуем $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) $. Так как косинус — чётная функция, $ \cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения, $ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha) $.
Теперь преобразуем $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) $. Так как синус — нечётная функция, $ \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения, $ -\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Подставим полученные выражения в исходное: $ \sin(\alpha) - (-\cos(\alpha)) = \sin(\alpha) + \cos(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) + \cos(\alpha) $.

2) Рассмотрим выражение $ 8\text{tg}945^\circ + \text{tg}(810^\circ + \alpha) - \text{ctg}(450^\circ - \alpha) $.
Упростим каждый член по отдельности, используя периодичность тригонометрических функций. Период тангенса и котангенса равен $ 180^\circ $.
$ \text{tg}945^\circ = \text{tg}(5 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \text{tg}(45^\circ) = 1 $.
$ \text{tg}(810^\circ + \alpha) = \text{tg}(4 \cdot 180^\circ + 90^\circ + \alpha) = \text{tg}(90^\circ + \alpha) $. По формуле приведения, это $ -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \text{ctg}(450^\circ - \alpha) = \text{ctg}(2 \cdot 180^\circ + 90^\circ - \alpha) = \text{ctg}(90^\circ - \alpha) $. По формуле приведения, это $ \text{tg}(\alpha) $.
Подставляем всё в исходное выражение: $ 8 \cdot 1 + (-\text{ctg}(\alpha)) - \text{tg}(\alpha) = 8 - \text{ctg}(\alpha) - \text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ 8 - \text{tg}(\alpha) - \text{ctg}(\alpha) $.

3) Упростим выражение $ \sin(2\alpha - \pi) + 2 \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) $.
$ \sin(2\alpha - \pi) = \sin(-(\pi - 2\alpha)) = -\sin(\pi - 2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.
$ \cos(\alpha + \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $. По формуле приведения (угол в IV четверти, косинус положителен, функция меняется), это $ \sin(\alpha) $.
$ \sin(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $. По формуле приведения (угол в III четверти, синус отрицателен, функция меняется), $ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $. Значит, $ -(-\cos(\alpha)) = \cos(\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ -\sin(2\alpha) + 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
Используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, получаем: $ -\sin(2\alpha) + \sin(2\alpha) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

4) Упростим $ \sin(\alpha + \pi) + \text{tg}(\alpha - \pi) $.
По формуле приведения, $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha) $.
Используя периодичность тангенса (период $ \pi $), $ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{tg}(\alpha) $.
Складываем полученные выражения: $ -\sin(\alpha) + \text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.

5) Упростим $ \sin(23\pi + 2018) + \cos(\frac{31\pi}{2} + 2018) $.
Используя периодичность синуса, $ \sin(23\pi + 2018) = \sin(22\pi + \pi + 2018) = \sin(\pi + 2018) = -\sin(2018) $.
Для косинуса, $ \frac{31\pi}{2} = \frac{28\pi + 3\pi}{2} = 14\pi + \frac{3\pi}{2} $. Тогда $ \cos(\frac{31\pi}{2} + 2018) = \cos(14\pi + \frac{3\pi}{2} + 2018) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2018) $. По формуле приведения, это $ \sin(2018) $.
Выражение становится: $ -\sin(2018) + \sin(2018) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

6) Упростим $ \sin(\frac{35\pi}{2} - \alpha) + \cos(68\pi - \alpha) $.
Разложим $ \frac{35\pi}{2} = \frac{32\pi + 3\pi}{2} = 16\pi + \frac{3\pi}{2} $. Тогда $ \sin(\frac{35\pi}{2} - \alpha) = \sin(16\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Так как период косинуса $ 2\pi $, то $ \cos(68\pi - \alpha) = \cos(34 \cdot 2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $.
Складываем: $ -\cos(\alpha) + \cos(\alpha) = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

7) Упростим $ \text{tg}(9\pi - \alpha) + \text{ctg}(\frac{57\pi}{2} + \alpha) $.
Период тангенса равен $ \pi $, поэтому $ \text{tg}(9\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Разложим $ \frac{57\pi}{2} = \frac{56\pi + \pi}{2} = 28\pi + \frac{\pi}{2} $. Тогда $ \text{ctg}(\frac{57\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}(28\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Выражение принимает вид: $ -\text{tg}(\alpha) + (-\text{tg}(\alpha)) = -2\text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ -2\text{tg}(\alpha) $.

8) Упростим дробь $ \frac{\text{tg}(\frac{11\pi}{2} + \alpha) \cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) \cos(\alpha - 4\pi)}{\text{ctg}(5\pi - \alpha) \sin(\frac{11\pi}{2} + \alpha)} $.
Упростим числитель:
$ \text{tg}(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(4\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \cos(\frac{7\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \cos(\alpha - 4\pi) = \cos(\alpha) $.
Числитель: $ (-\text{ctg}(\alpha))(-\sin(\alpha))(\cos(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \text{ctg}(5\pi - \alpha) = \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(\frac{11\pi}{2} + \alpha) = \sin(4\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Знаменатель: $ (-\text{ctg}(\alpha))(-\cos(\alpha)) = \text{ctg}(\alpha)\cos(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{\text{ctg}(\alpha)\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\text{ctg}(\alpha)\cos(\alpha)} = \sin(\alpha) $.
Ответ: $ \sin(\alpha) $.

9) Упростим $ \sin(7\pi - \alpha)\cos(\frac{15\pi}{2} + \beta) - \sin(\frac{19\pi}{2} - \alpha)\cos(6\pi - \beta) $.
$ \sin(7\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) $.
$ \cos(\frac{15\pi}{2} + \beta) = \cos(6\pi + \frac{3\pi}{2} + \beta) = \cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = \sin(\beta) $.
$ \sin(\frac{19\pi}{2} - \alpha) = \sin(8\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
$ \cos(6\pi - \beta) = \cos(-\beta) = \cos(\beta) $.
Подставляем в выражение: $ \sin(\alpha)\sin(\beta) - (-\cos(\alpha))\cos(\beta) = \sin(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\alpha)\cos(\beta) $.
Это формула косинуса разности: $ \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha - \beta) $.
Ответ: $ \cos(\alpha - \beta) $.

10) Упростим дробь $ \frac{\sin(4\pi - \alpha)\text{tg}(\frac{25\pi}{2} - \alpha)}{\cos(\frac{9\pi}{2} + \alpha)\text{ctg}(17\pi - \alpha)} $.
Упростим числитель:
$ \sin(4\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \text{tg}(\frac{25\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(12\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \text{ctg}(\alpha) $.
Числитель: $ -\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.
Упростим знаменатель:
$ \cos(\frac{9\pi}{2} + \alpha) = \cos(4\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha) $.
$ \text{ctg}(17\pi - \alpha) = \text{ctg}(\pi - \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
Знаменатель: $ (-\sin(\alpha))(-\text{ctg}(\alpha)) = \sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha) $.
Дробь: $ \frac{-\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha)}{\sin(\alpha)\text{ctg}(\alpha)} = -1 $.
Ответ: $ -1 $.

11) Упростим $ \text{tg}^2(540^\circ - \alpha) \left( \frac{1}{\cos^2(630^\circ + \alpha)} - 1 \right) $.
$ 540^\circ = 3 \cdot 180^\circ $. $ \text{tg}(540^\circ - \alpha) = \text{tg}(3 \cdot 180^\circ - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $. Тогда $ \text{tg}^2(540^\circ - \alpha) = (-\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $.
$ 630^\circ = 360^\circ + 270^\circ $. $ \cos(630^\circ + \alpha) = \cos(270^\circ + \alpha) = \sin(\alpha) $. Тогда $ \cos^2(630^\circ + \alpha) = \sin^2(\alpha) $.
Выражение в скобках: $ \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1 $. Из основного тригонометрического тождества $ 1 + \text{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $, поэтому $ \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1 = \text{ctg}^2(\alpha) $.
Перемножаем: $ \text{tg}^2(\alpha) \cdot \text{ctg}^2(\alpha) = \text{tg}^2(\alpha) \cdot \frac{1}{\text{tg}^2(\alpha)} = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

12) Упростим $ \text{tg}(13\pi - \alpha)\text{tg}(\frac{13\pi}{2} + \alpha) - \sin(\alpha - 22\pi) $.
$ \text{tg}(13\pi - \alpha) = \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
$ \text{tg}(\frac{13\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(6\pi + \frac{\pi}{2} + \alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $.
$ \sin(\alpha - 22\pi) = \sin(\alpha - 11 \cdot 2\pi) = \sin(\alpha) $.
Подставляем в выражение: $ (-\text{tg}(\alpha))(-\text{ctg}(\alpha)) - \sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha)\text{ctg}(\alpha) - \sin(\alpha) $.
Так как $ \text{tg}(\alpha)\text{ctg}(\alpha) = 1 $, то выражение равно $ 1 - \sin(\alpha) $.
Ответ: $ 1 - \sin(\alpha) $.