Номер 29.4, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.4. Проверьте справедливость равенства:

1) $ \sin 93^\circ - \sin 63^\circ = \sin 33^\circ $

2) $ \cos 14^\circ - \sin 16^\circ = \cos 46^\circ $

1) Проверим справедливость равенства $sin93^\circ - sin63^\circ = sin33^\circ$.

Для проверки преобразуем левую часть равенства, используя формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2 \cdot cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cdot sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Подставим в формулу значения $\alpha = 93^\circ$ и $\beta = 63^\circ$:

$sin93^\circ - sin63^\circ = 2 \cdot cos\frac{93^\circ+63^\circ}{2} \cdot sin\frac{93^\circ-63^\circ}{2} = 2 \cdot cos\frac{156^\circ}{2} \cdot sin\frac{30^\circ}{2} = 2 \cdot cos78^\circ \cdot sin15^\circ$.

Теперь необходимо сравнить полученное выражение $2 \cdot cos78^\circ \cdot sin15^\circ$ с правой частью исходного равенства, то есть с $sin33^\circ$.

Воспользуемся формулой приведения $cos78^\circ = cos(90^\circ - 12^\circ) = sin12^\circ$.

Тогда левая часть равенства принимает вид: $2 \cdot sin12^\circ \cdot sin15^\circ$.

Используем формулу преобразования произведения синусов в сумму $2 \cdot sinA \cdot sinB = cos(A-B) - cos(A+B)$.

$2 \cdot sin15^\circ \cdot sin12^\circ = cos(15^\circ - 12^\circ) - cos(15^\circ + 12^\circ) = cos3^\circ - cos27^\circ$.

Таким образом, исходное равенство $sin93^\circ - sin63^\circ = sin33^\circ$ эквивалентно равенству $cos3^\circ - cos27^\circ = sin33^\circ$.

Углы $3^\circ, 27^\circ, 33^\circ$ не являются табличными, но можно оценить значения. Так как $cos(x)$ является убывающей функцией на отрезке $[0, 90^\circ]$, то $cos3^\circ > cos27^\circ$. В то же время, $cos3^\circ \approx 0.9986$, $cos27^\circ \approx 0.8910$, их разность примерно равна $0.1076$. Значение $sin33^\circ \approx 0.5446$. Очевидно, что эти величины не равны.

Следовательно, исходное равенство не является верным.

Ответ: Равенство не справедливо.

2) Проверим справедливость равенства $cos14^\circ - sin16^\circ = cos46^\circ$.

Для удобства преобразуем исходное равенство, перенеся $cos46^\circ$ в левую часть, а $sin16^\circ$ в правую. Равенство примет вид:

$cos14^\circ - cos46^\circ = sin16^\circ$.

Теперь преобразуем левую часть полученного равенства, используя формулу разности косинусов: $cos\alpha - cos\beta = -2 \cdot sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cdot sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Подставим значения $\alpha = 14^\circ$ и $\beta = 46^\circ$:

$cos14^\circ - cos46^\circ = -2 \cdot sin\frac{14^\circ+46^\circ}{2} \cdot sin\frac{14^\circ-46^\circ}{2} = -2 \cdot sin\frac{60^\circ}{2} \cdot sin\frac{-32^\circ}{2} = -2 \cdot sin30^\circ \cdot sin(-16^\circ)$.

Мы знаем табличное значение $sin30^\circ = \frac{1}{2}$ и свойство нечетности синуса $sin(-x) = -sinx$. Подставим эти значения в выражение:

$-2 \cdot sin30^\circ \cdot sin(-16^\circ) = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-sin16^\circ) = -1 \cdot (-sin16^\circ) = sin16^\circ$.

В результате преобразования левой части мы получили $sin16^\circ$, что в точности совпадает с правой частью равенства $cos14^\circ - cos46^\circ = sin16^\circ$.

Следовательно, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.