Номер 29.6, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.6. Вычислите:

1) $\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{5\cos^2\beta + 1}$, если $\mathrm{tg}\beta = 2;

2) $\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = -2;

3) $\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = -4;

4) $\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}$, если $\mathrm{tg}\beta = 3.

1) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{5\cos^2\beta + 1}$ при $\text{tg}\beta = 2$, преобразуем его, разделив числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$. Это преобразование допустимо, поскольку если $\text{tg}\beta$ имеет значение, то $\cos\beta \neq 0$.
$\frac{\frac{\sin\beta\cos\beta + 2}{\cos^2\beta}}{\frac{5\cos^2\beta + 1}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta\cos\beta}{\cos^2\beta} + \frac{2}{\cos^2\beta}}{\frac{5\cos^2\beta}{\cos^2\beta} + \frac{1}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} + 2 \cdot \frac{1}{\cos^2\beta}}{5 + \frac{1}{\cos^2\beta}}$
Используя тождество $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, заменим $\frac{1}{\cos^2\beta}$ и $\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ на выражения с тангенсом:
$\frac{\text{tg}\beta + 2(1 + \text{tg}^2\beta)}{5 + (1 + \text{tg}^2\beta)} = \frac{\text{tg}\beta + 2 + 2\text{tg}^2\beta}{6 + \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = 2$:
$\frac{2 + 2 + 2 \cdot (2)^2}{6 + (2)^2} = \frac{4 + 2 \cdot 4}{6 + 4} = \frac{4 + 8}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
Ответ: $\frac{6}{5}$.

2) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}$ при $\text{tg}\beta = -2$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{\sin\beta\cos\beta - 3}{\cos^2\beta}}{\frac{6\cos^2\beta - \sin^2\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{\frac{\sin\beta}{\cos\beta} - \frac{3}{\cos^2\beta}}{6 - \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{\text{tg}\beta - 3(1 + \text{tg}^2\beta)}{6 - \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = -2$:
$\frac{-2 - 3(1 + (-2)^2)}{6 - (-2)^2} = \frac{-2 - 3(1 + 4)}{6 - 4} = \frac{-2 - 3 \cdot 5}{2} = \frac{-2 - 15}{2} = -\frac{17}{2}$
Ответ: $-\frac{17}{2}$.

3) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}$ при $\text{tg}\beta = -4$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{2\sin\beta\cos\beta + 3}{\cos^2\beta}}{\frac{4\cos^2\beta + \sin^2\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{2\frac{\sin\beta}{\cos\beta} + \frac{3}{\cos^2\beta}}{4 + \frac{\sin^2\beta}{\cos^2\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{2\text{tg}\beta + 3(1 + \text{tg}^2\beta)}{4 + \text{tg}^2\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = -4$:
$\frac{2(-4) + 3(1 + (-4)^2)}{4 + (-4)^2} = \frac{-8 + 3(1 + 16)}{4 + 16} = \frac{-8 + 3 \cdot 17}{20} = \frac{-8 + 51}{20} = \frac{43}{20}$
Ответ: $\frac{43}{20}$.

4) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}$ при $\text{tg}\beta = 3$, разделим числитель и знаменатель на $\cos^2\beta$:
$\frac{\frac{\cos^2\beta + 2}{\cos^2\beta}}{\frac{\cos^2\beta + 3\sin\beta\cos\beta}{\cos^2\beta}} = \frac{1 + \frac{2}{\cos^2\beta}}{1 + 3\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}$
Используя тождества $\text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ и $\frac{1}{\cos^2\beta} = 1 + \text{tg}^2\beta$, получим:
$\frac{1 + 2(1 + \text{tg}^2\beta)}{1 + 3\text{tg}\beta} = \frac{1 + 2 + 2\text{tg}^2\beta}{1 + 3\text{tg}\beta} = \frac{3 + 2\text{tg}^2\beta}{1 + 3\text{tg}\beta}$
Подставим в полученное выражение значение $\text{tg}\beta = 3$:
$\frac{3 + 2 \cdot (3)^2}{1 + 3 \cdot 3} = \frac{3 + 2 \cdot 9}{1 + 9} = \frac{3 + 18}{10} = \frac{21}{10}$
Ответ: $\frac{21}{10}$.