Номер 29.13, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.13. Найдите значение тригонометрической функции:

1) tga, если $2\operatorname{tg}a - \sin a + 5\cos a = 10$;

2) ctga, если $3\operatorname{ctg}a + 4\sin a - \cos a = 12$;

3) ctga, если $2\operatorname{tg}a - \sin a + 10\cos a = 20$;

4) tga, если $3\operatorname{ctg}a - 0.1\sin a - \cos a = -0.3$.

1) Дано уравнение $2\text{tg}\alpha - \sin\alpha + 5\cos\alpha = 10$.

Предположим, что $\cos\alpha \neq 0$, иначе $\text{tg}\alpha$ не был бы определен. Перенесем члены уравнения, чтобы сгруппировать $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$2\text{tg}\alpha - 10 = \sin\alpha - 5\cos\alpha$.

Разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$:

$\frac{2\text{tg}\alpha - 10}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 5$.

$\frac{2\text{tg}\alpha - 10}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha - 5$.

Пусть $t = \text{tg}\alpha$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{2t - 10}{\cos\alpha} = t - 5$.

$\frac{2(t - 5)}{\cos\alpha} = t - 5$.

Это уравнение можно рассматривать как $(t-5) \cdot (\frac{2}{\cos\alpha} - 1) = 0$. Оно выполняется в двух случаях:

Случай 1: $t - 5 = 0$.

Отсюда $t = \text{tg}\alpha = 5$. Проверим, является ли это решением исходного уравнения. Если $\text{tg}\alpha = 5$, то $2\text{tg}\alpha = 10$. Подставим в исходное уравнение:

$10 - \sin\alpha + 5\cos\alpha = 10$.

$-\sin\alpha + 5\cos\alpha = 0$.

$5\cos\alpha = \sin\alpha$.

Разделив на $\cos\alpha$ (мы уже предположили, что он не равен нулю), получаем $\text{tg}\alpha = 5$. Это совпадает с нашим предположением, значит, это верное решение.

Случай 2: $\frac{2}{\cos\alpha} - 1 = 0$.

Отсюда $\frac{2}{\cos\alpha} = 1$, что означает $\cos\alpha = 2$. Это невозможно, так как значения косинуса лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Таким образом, единственное возможное значение для $\text{tg}\alpha$ равно 5.

Ответ: 5.

2) Дано уравнение $3\text{ctg}\alpha + 4\sin\alpha - \cos\alpha = 12$.

Предположим, что $\sin\alpha \neq 0$, иначе $\text{ctg}\alpha$ не был бы определен. Используем основное тригонометрическое соотношение $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, откуда $\cos\alpha = \text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha$.

Пусть $c = \text{ctg}\alpha$. Тогда $\cos\alpha = c \cdot \sin\alpha$. Подставим это в исходное уравнение:

$3c + 4\sin\alpha - (c \cdot \sin\alpha) = 12$.

$3c + (4-c)\sin\alpha = 12$.

Выразим член с $\sin\alpha$:

$(4-c)\sin\alpha = 12 - 3c$.

$(4-c)\sin\alpha = 3(4-c)$.

Это уравнение можно представить в виде $(4-c)(\sin\alpha - 3) = 0$. Оно выполняется в двух случаях:

Случай 1: $4 - c = 0$.

Отсюда $c = \text{ctg}\alpha = 4$. Проверим это решение. Если $\text{ctg}\alpha = 4$, то $3\text{ctg}\alpha = 12$. Подставляем в исходное уравнение:

$12 + 4\sin\alpha - \cos\alpha = 12$.

$4\sin\alpha - \cos\alpha = 0$.

$4\sin\alpha = \cos\alpha$.

Разделив на $\sin\alpha$ (не равный нулю), получаем $4 = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, то есть $\text{ctg}\alpha = 4$. Решение подтверждается.

Случай 2: $\sin\alpha - 3 = 0$.

Отсюда $\sin\alpha = 3$. Это невозможно, так как значения синуса лежат в диапазоне $[-1, 1]$.

Следовательно, единственное возможное значение для $\text{ctg}\alpha$ равно 4.

Ответ: 4.

3) Дано уравнение $2\text{tg}\alpha - \sin\alpha + 10\cos\alpha = 20$.

Задача аналогична пункту 1. Предположим, что $\cos\alpha \neq 0$. Перегруппируем члены уравнения:

$2\text{tg}\alpha - 20 = \sin\alpha - 10\cos\alpha$.

Разделим обе части на $\cos\alpha$:

$\frac{2\text{tg}\alpha - 20}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 10$.

Пусть $t = \text{tg}\alpha$. Уравнение примет вид:

$\frac{2t - 20}{\cos\alpha} = t - 10$.

$\frac{2(t - 10)}{\cos\alpha} = t - 10$.

$(t-10) \cdot (\frac{2}{\cos\alpha} - 1) = 0$.

Случай 1: $t - 10 = 0$.

$t = \text{tg}\alpha = 10$. Проверяем: если $\text{tg}\alpha = 10$, то $2\text{tg}\alpha = 20$. Исходное уравнение:

$20 - \sin\alpha + 10\cos\alpha = 20$.

$-\sin\alpha + 10\cos\alpha = 0 \implies 10\cos\alpha = \sin\alpha \implies \text{tg}\alpha = 10$. Решение верное.

Случай 2: $\frac{2}{\cos\alpha} - 1 = 0$.

$\cos\alpha = 2$, что невозможно.

Единственное решение для тангенса: $\text{tg}\alpha = 10$. Нам нужно найти котангенс.

$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha} = \frac{1}{10}$.

Ответ: 0,1.

4) Дано уравнение $3\text{ctg}\alpha - 0,1\sin\alpha - \cos\alpha = -0,3$.

Задача аналогична пункту 2. Предположим, что $\sin\alpha \neq 0$. Пусть $c = \text{ctg}\alpha$. Тогда $\cos\alpha = c \sin\alpha$. Подставляем в уравнение:

$3c - 0,1\sin\alpha - c\sin\alpha = -0,3$.

$3c - (0,1+c)\sin\alpha = -0,3$.

$(c+0,1)\sin\alpha = 3c + 0,3$.

$(c+0,1)\sin\alpha = 3(c+0,1)$.

$(c+0,1)(\sin\alpha - 3) = 0$.

Случай 1: $c + 0,1 = 0$.

$c = \text{ctg}\alpha = -0,1$. Проверяем: если $\text{ctg}\alpha = -0,1$, то $3\text{ctg}\alpha = -0,3$. Исходное уравнение:

$-0,3 - 0,1\sin\alpha - \cos\alpha = -0,3$.

$-0,1\sin\alpha - \cos\alpha = 0 \implies -\cos\alpha = 0,1\sin\alpha \implies \text{ctg}\alpha = -0,1$. Решение верное.

Случай 2: $\sin\alpha - 3 = 0$.

$\sin\alpha = 3$, что невозможно.

Единственное решение для котангенса: $\text{ctg}\alpha = -0,1$. Нам нужно найти тангенс.

$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{ctg}\alpha} = \frac{1}{-0,1} = -10$.

Ответ: -10.