Номер 29.19, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.19. Упростите выражение:

1) $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha;$

2) $\sin^2\beta\text{tg}\beta - \cos^2\beta\text{ctg}\beta + 2\text{ctg}2\beta;$

3) $\frac{1}{\text{tg}^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 + \sin(2\alpha + 1,5\pi)};$

4) $\frac{1}{1 - \text{tg}\beta} - \frac{\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)\sin\beta}{\cos2\beta}.$

1) Упростим выражение $0,125\cos4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{1}{8}$.
Далее, используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Тогда второе слагаемое в выражении можно переписать так: $\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = (\frac{1}{2}\sin(2\alpha))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.
Теперь наше выражение имеет вид: $\frac{1}{8}\cos4\alpha + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha)$.
Применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$. Положив $\theta = 2\alpha$, получим $\cos(4\alpha) = 1 - 2\sin^2(2\alpha)$.
Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{8}(1 - 2\sin^2(2\alpha)) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{2}{8}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8} - \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) + \frac{1}{4}\sin^2(2\alpha) = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

2) Упростим выражение $\sin^2\beta\tg\beta - \cos^2\beta\ctg\beta + 2\ctg2\beta$.
Запишем тангенс и котангенс через синус и косинус: $\tg\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$, $\ctg\beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta}$, $\ctg2\beta = \frac{\cos2\beta}{\sin2\beta}$.
Выражение принимает вид: $\sin^2\beta\frac{\sin\beta}{\cos\beta} - \cos^2\beta\frac{\cos\beta}{\sin\beta} + 2\frac{\cos2\beta}{\sin2\beta}$.
Упростим первые два слагаемых и используем формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$ для третьего слагаемого: $\frac{\sin^3\beta}{\cos\beta} - \frac{\cos^3\beta}{\sin\beta} + 2\frac{\cos2\beta}{2\sin\beta\cos\beta} = \frac{\sin^4\beta - \cos^4\beta}{\sin\beta\cos\beta} + \frac{\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta}$.
Разложим числитель первой дроби как разность квадратов: $\sin^4\beta - \cos^4\beta = (\sin^2\beta - \cos^2\beta)(\sin^2\beta + \cos^2\beta)$.
Так как $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$ и $\cos^2\beta - \sin^2\beta = \cos2\beta$, то $\sin^2\beta - \cos^2\beta = -\cos2\beta$.
Подставим это в выражение: $\frac{-\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta} + \frac{\cos2\beta}{\sin\beta\cos\beta} = 0$.
Ответ: $0$

3) Упростим выражение $\frac{1}{\tg^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 + \sin(2\alpha + 1,5\pi)}$.
Сначала упростим знаменатель второй дроби. Используем формулу приведения: $\sin(x + \frac{3\pi}{2}) = -\cos x$.
Тогда $\sin(2\alpha + 1,5\pi) = \sin(2\alpha + \frac{3\pi}{2}) = -\cos(2\alpha)$.
Знаменатель становится $1 - \cos2\alpha$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{1}{\tg^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{1 - \cos2\alpha}$.
Заменим $\frac{1}{\tg^2\alpha}$ на $\ctg^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$ и используем формулу $1 - \cos2\alpha = 2\sin^2\alpha$:
$\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{2\cos2\alpha}{2\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \cos2\alpha}{\sin^2\alpha}$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ к числителю:
$\frac{\cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1$.
Ответ: $1$

4) Упростим выражение $\frac{1}{1 - \tg\beta} - \frac{\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4} + \beta)\sin\beta}{\cos2\beta}$.
Раскроем синус суммы в числителе второй дроби: $\sin(\frac{\pi}{4} + \beta) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\beta + \cos\frac{\pi}{4}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)$.
Тогда числитель второй дроби равен: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta = (\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta$.
Вся вторая дробь: $\frac{(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta}{\cos2\beta}$.
Используем формулу $\cos2\beta = \cos^2\beta - \sin^2\beta = (\cos\beta - \sin\beta)(\cos\beta + \sin\beta)$.
Вторая дробь становится $\frac{(\cos\beta + \sin\beta)\sin\beta}{(\cos\beta - \sin\beta)(\cos\beta + \sin\beta)} = \frac{\sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta}$ (при условии $\cos\beta + \sin\beta \neq 0$).
Теперь преобразуем первую дробь: $\frac{1}{1 - \tg\beta} = \frac{1}{1 - \frac{\sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{1}{\frac{\cos\beta - \sin\beta}{\cos\beta}} = \frac{\cos\beta}{\cos\beta - \sin\beta}$.
Подставим всё в исходное выражение:
$\frac{\cos\beta}{\cos\beta - \sin\beta} - \frac{\sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta} = \frac{\cos\beta - \sin\beta}{\cos\beta - \sin\beta} = 1$.
Ответ: $1$