Номер 29.20, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.20. Докажите тождество:

$\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 4 \cos x \cos 2x \sin 4x.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x)$

Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов:

$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Применим эту формулу к каждой паре слагаемых.

Для первой пары $(\sin x + \sin 7x)$:

$\sin x + \sin 7x = 2 \sin \frac{x + 7x}{2} \cos \frac{7x - x}{2} = 2 \sin \frac{8x}{2} \cos \frac{6x}{2} = 2 \sin 4x \cos 3x$

Для второй пары $(\sin 3x + \sin 5x)$:

$\sin 3x + \sin 5x = 2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \cos \frac{5x - 3x}{2} = 2 \sin \frac{8x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \sin 4x \cos x$

Теперь подставим полученные произведения обратно в исходное выражение:

$2 \sin 4x \cos 3x + 2 \sin 4x \cos x$

Вынесем за скобки общий множитель $2 \sin 4x$:

$2 \sin 4x (\cos 3x + \cos x)$

К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов:

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$

Получаем:

$\cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x + x}{2} \cos \frac{3x - x}{2} = 2 \cos \frac{4x}{2} \cos \frac{2x}{2} = 2 \cos 2x \cos x$

Подставим это обратно в наше выражение:

$2 \sin 4x (2 \cos 2x \cos x)$

Раскрыв скобки и перегруппировав множители, получаем правую часть исходного тождества:

$4 \cos x \cos 2x \sin 4x$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем преобразования левой части к виду правой с использованием формул суммы синусов и суммы косинусов.