Номер 29.27, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.27. Найдите значение суммы:

1) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^3 \frac{\pi}{6} + \dots + \sin^n \frac{\pi}{6} + \dots$

2) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg}^3 \frac{\pi}{3} + \dots + \operatorname{ctg}^n \frac{\pi}{3} + \dots$

1) Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$ этой прогрессии.
Первый член прогрессии: $b_1 = \sin\frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что значение синуса для этого угла равно $\frac{1}{2}$. Таким образом, $b_1 = \frac{1}{2}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{\sin^2\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является сходящейся (бесконечно убывающей), и ее сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: 1

2) Эта сумма также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии.
Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член прогрессии: $b_1 = \ctg\frac{\pi}{3}$. Значение котангенса для этого угла равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Итак, $b_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен: $q = \frac{\ctg^2\frac{\pi}{3}}{\ctg\frac{\pi}{3}} = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Проверим условие сходимости. Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, мы можем найти сумму этого ряда.
Используем ту же формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$