Номер 29.21, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.21. Найдите множество значений выражения:

1) $tgxcosx + ctgxsinx$;

2) $tgxcosx - ctgxsinx$.

1) tgxcosx + ctgxsinx;

Для того чтобы выражение имело смысл, должны быть определены функции тангенса и котангенса. Область определения функции $y=\tg x$ — все $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Область определения функции $y=\ctg x$ — все $x$, кроме $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Таким образом, для нашего выражения область допустимых значений (ОДЗ) — это все $x$, для которых одновременно $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Это эквивалентно условию $\sin(2x) \neq 0$, то есть $2x \neq \pi k$, или $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
Упростим данное выражение, учитывая ОДЗ:
$\tg x \cos x + \ctg x \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \sin x + \cos x$.
Теперь задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin x + \cos x$ при условии, что $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем выражение $\sin x + \cos x$ с помощью метода вспомогательного угла:
$\sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right) = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.
Множество значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ множество значений на всей числовой прямой — это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.
Однако мы должны учесть ОДЗ. Найдем, какие значения принимает выражение $\sin x + \cos x$ в точках, которые исключены из ОДЗ, то есть при $x = \frac{\pi k}{2}$.
Если $x = \pi k$ (например, $0, \pi, 2\pi, ...$), то $\sin x = 0$, а $\cos x = \pm 1$. Тогда $\sin x + \cos x = \pm 1$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (например, $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...$), то $\cos x = 0$, а $\sin x = \pm 1$. Тогда $\sin x + \cos x = \pm 1$.
Поскольку в этих точках исходное выражение не определено, значения $1$ и $-1$ не могут быть достигнуты. Функция $y = \sin x + \cos x$ непрерывна, и на интервалах, составляющих ОДЗ, она принимает все значения из отрезка $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, кроме $1$ и $-1$.
Таким образом, множество значений исходного выражения есть объединение интервалов $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.
Ответ: $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.

2) tgxcosx - ctgxsinx.

Область допустимых значений для этого выражения такая же, как и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$, так как должны быть определены и $\tg x$, и $\ctg x$.
Упростим выражение:
$\tg x \cos x - \ctg x \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \sin x - \cos x$.
Задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \sin x - \cos x$ при условии $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем метод вспомогательного угла:
$\sin x - \cos x = \sqrt{1^2+(-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4}\sin x - \sin\frac{\pi}{4}\cos x \right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Множество значений функции $y = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ на всей числовой прямой — это отрезок $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.
Теперь учтем ОДЗ, проверив значения выражения $\sin x - \cos x$ в исключенных точках $x = \frac{\pi k}{2}$.
Если $x = \pi k$, то $\sin x = 0$, а $\cos x = \pm 1$. Тогда $\sin x - \cos x = 0 - (\pm 1) = \mp 1$. То есть значения равны $1$ или $-1$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $\cos x = 0$, а $\sin x = \pm 1$. Тогда $\sin x - \cos x = \pm 1 - 0 = \pm 1$.
Таким образом, значения $1$ и $-1$ достигаются только в точках, исключенных из ОДЗ. Следовательно, эти значения не входят в искомое множество значений.
Множество значений исходного выражения есть $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \setminus \{-1, 1\}$.
Ответ: $[-\sqrt{2}; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; \sqrt{2}]$.