Номер 29.15, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.15. Докажите, что верно равенство:

$tg30^\circ + tg40^\circ + tg50^\circ + tg60^\circ = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Обозначим ее как Л.

$Л = \text{tg}30^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ + \text{tg}60^\circ$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$Л = (\text{tg}30^\circ + \text{tg}60^\circ) + (\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ)$

Вычислим значение первой скобки, используя известные значения тангенсов:

$\text{tg}30^\circ + \text{tg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Теперь преобразуем вторую скобку. Для этого представим тангенсы как отношение синуса к косинусу и приведем к общему знаменателю:

$\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ = \frac{\sin40^\circ}{\cos40^\circ} + \frac{\sin50^\circ}{\cos50^\circ} = \frac{\sin40^\circ\cos50^\circ + \cos40^\circ\sin50^\circ}{\cos40^\circ\cos50^\circ}$

В числителе используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin40^\circ\cos50^\circ + \cos40^\circ\sin50^\circ = \sin(40^\circ + 50^\circ) = \sin90^\circ = 1$

Знаменатель преобразуем, используя формулу приведения $\cos50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin40^\circ$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\cos40^\circ\cos50^\circ = \cos40^\circ\sin40^\circ = \frac{1}{2}(2\sin40^\circ\cos40^\circ) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 40^\circ) = \frac{1}{2}\sin80^\circ$

Таким образом, вторая скобка равна:

$\text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin80^\circ} = \frac{2}{\sin80^\circ}$

Теперь сложим результаты преобразования обеих групп:

$Л = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin80^\circ}$

Наша цель — показать, что это выражение равно $\frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$. Для этого докажем вспомогательное тождество:

$\frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sin80^\circ}$

Это равносильно доказательству того, что $2\sqrt{3} = 4\sin80^\circ(2\cos20^\circ-1)$, или $\sqrt{3} = 4\sin80^\circ\cos20^\circ - 2\sin80^\circ$.

Рассмотрим выражение $4\sin80^\circ\cos20^\circ$. Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$4\sin80^\circ\cos20^\circ = 2(2\sin80^\circ\cos20^\circ) = 2(\sin(80^\circ+20^\circ) + \sin(80^\circ-20^\circ)) = 2(\sin100^\circ + \sin60^\circ)$

Используем формулу приведения $\sin100^\circ = \sin(180^\circ-80^\circ) = \sin80^\circ$ и табличное значение $\sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$2(\sin100^\circ + \sin60^\circ) = 2(\sin80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 2\sin80^\circ + \sqrt{3}$

Подставим полученный результат в правую часть доказываемого тождества:

$(2\sin80^\circ + \sqrt{3}) - 2\sin80^\circ = \sqrt{3}$

Так как левая часть тождества также равна $\sqrt{3}$, оно доказано. Следовательно, верно и равенство $\frac{2}{\sin80^\circ} = \frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}}$.

Вернемся к выражению для Л и подставим в него доказанное соотношение:

$Л = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin80^\circ} = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{4(2\cos20^\circ-1)}{\sqrt{3}} = \frac{4 + 8\cos20^\circ - 4}{\sqrt{3}} = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$

Мы показали, что левая часть исходного равенства равна его правой части.

Ответ: Равенство $\text{tg}30^\circ + \text{tg}40^\circ + \text{tg}50^\circ + \text{tg}60^\circ = \frac{8\cos20^\circ}{\sqrt{3}}$ доказано.