Номер 29.16, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.16. Докажите тождество:

1) sina + sin2a + sin3a + ... + sinna = $\frac{\sin \frac{n \alpha}{2} \sin \frac{(n+1) \alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}};$

2) cosa + cos2a + cos3a + ... + cosna = $\frac{\sin \frac{n \alpha}{2} \cos \frac{(n+1) \alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}.$

1) Докажем тождество $ \sin\alpha + \sin2\alpha + \sin3\alpha + \dots + \sin n\alpha = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $.

Обозначим сумму в левой части через $S_n$:$S_n = \sin\alpha + \sin2\alpha + \dots + \sin n\alpha$.

Домножим обе части равенства на $2\sin\frac{\alpha}{2}$. Будем предполагать, что $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$, то есть $\alpha \neq 2\pi k$ для любого целого $k$. Если $\alpha = 2\pi k$, то все слагаемые в левой части равны нулю, и сумма равна нулю. Правая часть в этом случае не определена.

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\sin2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + \dots + 2\sin n\alpha\sin\frac{\alpha}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синусов: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части равенства. Для слагаемого с номером $k$ ($1 \le k \le n$) имеем:$2\sin k\alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \cos(k\alpha - \frac{\alpha}{2}) - \cos(k\alpha + \frac{\alpha}{2}) = \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2} - \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2}$.

Тогда сумма примет вид:

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = \left(\cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{3\alpha}{2}\right) + \left(\cos\frac{3\alpha}{2} - \cos\frac{5\alpha}{2}\right) + \left(\cos\frac{5\alpha}{2} - \cos\frac{7\alpha}{2}\right) + \dots + \left(\cos\frac{(2n-1)\alpha}{2} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2}\right)$.

Эта сумма является телескопической. Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются:

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = \cos\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2}$.

Теперь применим формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha}{2} + \frac{(2n+1)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{\alpha}{2} - \frac{(2n+1)\alpha}{2}}{2}$$ = -2\sin\frac{\frac{(2n+2)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{-2n\alpha}{2}}{2}$$ = -2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{-n\alpha}{2}$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:$2S_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{n\alpha}{2}$.

Разделим обе части на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$S_n = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $ \cos\alpha + \cos2\alpha + \cos3\alpha + \dots + \cos n\alpha = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}} $.

Обозначим сумму в левой части через $C_n$:$C_n = \cos\alpha + \cos2\alpha + \dots + \cos n\alpha$.

Домножим обе части равенства на $2\sin\frac{\alpha}{2}$ (также предполагая, что $\sin\frac{\alpha}{2} \neq 0$):

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\cos\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + 2\cos2\alpha\sin\frac{\alpha}{2} + \dots + 2\cos n\alpha\sin\frac{\alpha}{2}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$.Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части. Для слагаемого с номером $k$ ($1 \le k \le n$) имеем:$2\cos k\alpha \sin\frac{\alpha}{2} = \sin(k\alpha + \frac{\alpha}{2}) - \sin(k\alpha - \frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{(2k+1)\alpha}{2} - \sin\frac{(2k-1)\alpha}{2}$.

Тогда сумма примет вид:

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = \left(\sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\sin\frac{5\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2}\right) + \left(\sin\frac{7\alpha}{2} - \sin\frac{5\alpha}{2}\right) + \dots + \left(\sin\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \sin\frac{(2n-1)\alpha}{2}\right)$.

Эта сумма также является телескопической. Промежуточные слагаемые сокращаются:

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = \sin\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}$.

Теперь применим формулу разности синусов: $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$2C_n \sin\frac{\alpha}{2} = 2\cos\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2}$$ = 2\cos\frac{\frac{(2n+2)\alpha}{2}}{2} \sin\frac{\frac{2n\alpha}{2}}{2}$$ = 2\cos\frac{(n+1)\alpha}{2} \sin\frac{n\alpha}{2}$.

Разделим обе части на $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$C_n = \frac{\sin\frac{n\alpha}{2}\cos\frac{(n+1)\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.

Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.