Номер 29.17, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.17. Найдите значение выражения $\frac{\sin 4\alpha}{\sin \alpha}$, если известно, что $4\sin^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$.

Для начала решим данное уравнение $4\sin^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Подставим это выражение в уравнение:

$4(1 - \cos^2\alpha) - 9\cos\alpha - 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos\alpha$:

$4 - 4\cos^2\alpha - 9\cos\alpha - 6 = 0$

$-4\cos^2\alpha - 9\cos\alpha - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$4\cos^2\alpha + 9\cos\alpha + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos\alpha$, где $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид $4t^2 + 9t + 2 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$

$t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 \pm 7}{8}$

Получаем два корня: $t_1 = \frac{-9-7}{8} = -2$ и $t_2 = \frac{-9+7}{8} = -\frac{1}{4}$.

Возвращаясь к замене $t = \cos\alpha$, видим, что корень $t_1 = -2$ является посторонним, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$. Следовательно, единственное возможное значение: $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$.

Теперь преобразуем выражение $\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha}$. Используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$:

$\frac{\sin4\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha} = \frac{2(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos(2\alpha)}{\sin\alpha}$

Поскольку $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$, то $\sin\alpha \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $\sin\alpha$. Также используем формулу косинуса двойного угла $\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$:

$4\cos\alpha\cos(2\alpha) = 4\cos\alpha(2\cos^2\alpha - 1)$

Подставим найденное значение $\cos\alpha = -\frac{1}{4}$ в полученное выражение:

$4\left(-\frac{1}{4}\right)\left(2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 - 1\right) = -1\left(2\cdot\frac{1}{16} - 1\right) = -1\left(\frac{1}{8} - 1\right) = -1\left(-\frac{7}{8}\right) = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$