Номер 29.14, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.14. Упростите выражение:

1) $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta);$

2) $\sin^2\alpha + \sin^2\beta + \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta);$

3) $\cos^2\left(\alpha - \frac{5\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{8}\right);$

4) $\sin^2\left(\beta - \frac{5\pi}{12}\right) - \cos^2\left(\beta + \frac{7\pi}{12}\right).$

1) Для упрощения выражения $cos^2\alpha + cos^2\beta - cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$ воспользуемся формулой произведения косинусов, которая также известна как формула разности квадратов для косинусов: $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Подставим это в исходное выражение:
$cos^2\alpha + cos^2\beta - (cos^2\alpha - sin^2\beta) = cos^2\alpha + cos^2\beta - cos^2\alpha + sin^2\beta$
Сократим подобные члены:
$(cos^2\alpha - cos^2\alpha) + (cos^2\beta + sin^2\beta) = 0 + cos^2\beta + sin^2\beta$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\beta + cos^2\beta = 1$.
В результате получаем: $1$.
Ответ: $1$

2) Для упрощения выражения $sin^2\alpha + sin^2\beta + cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta)$ также используем формулу $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Подставим ее в выражение:
$sin^2\alpha + sin^2\beta + (cos^2\alpha - sin^2\beta) = sin^2\alpha + sin^2\beta + cos^2\alpha - sin^2\beta$
Сократим подобные члены:
$(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + (sin^2\beta - sin^2\beta) = sin^2\alpha + cos^2\alpha + 0$
Применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
В результате получаем: $1$.
Ответ: $1$

3) Упростим выражение $cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{8}) - sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{8})$.
Воспользуемся формулой приведения $sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x)$, тогда $sin^2(x) = cos^2(\frac{\pi}{2} - x)$.
Преобразуем второй член выражения:
$sin^2(\alpha - \frac{3\pi}{8}) = cos^2(\frac{\pi}{2} - (\alpha - \frac{3\pi}{8})) = cos^2(\frac{4\pi}{8} - \alpha + \frac{3\pi}{8}) = cos^2(\frac{7\pi}{8} - \alpha)$.
Теперь выражение имеет вид: $cos^2(\alpha - \frac{5\pi}{8}) - cos^2(\frac{7\pi}{8} - \alpha)$.
Применим формулу разности квадратов косинусов: $cos^2(A) - cos^2(B) = -sin(A+B)sin(A-B)$.
Пусть $A = \alpha - \frac{5\pi}{8}$ и $B = \frac{7\pi}{8} - \alpha$.
Найдем сумму и разность аргументов:
$A+B = (\alpha - \frac{5\pi}{8}) + (\frac{7\pi}{8} - \alpha) = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
$A-B = (\alpha - \frac{5\pi}{8}) - (\frac{7\pi}{8} - \alpha) = 2\alpha - \frac{12\pi}{8} = 2\alpha - \frac{3\pi}{2}$.
Подставим найденные значения в формулу:
$-sin(\frac{\pi}{4})sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2})$.
Мы знаем, что $sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для второго синуса применим формулу приведения $sin(x - \frac{3\pi}{2}) = cos(x)$:
$sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) = cos(2\alpha)$.
Тогда все выражение равно:
$-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(2\alpha)$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}cos(2\alpha)$

4) Упростим выражение $sin^2(\beta - \frac{5\pi}{12}) - cos^2(\beta + \frac{7\pi}{12})$.
Обозначим $x = \beta - \frac{5\pi}{12}$.
Тогда второй аргумент можно выразить через $x$:
$\beta + \frac{7\pi}{12} = \beta - \frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = (\beta - \frac{5\pi}{12}) + \frac{12\pi}{12} = x + \pi$.
Выражение принимает вид: $sin^2(x) - cos^2(x + \pi)$.
Используя формулу приведения $cos(x + \pi) = -cos(x)$, получаем:
$cos^2(x + \pi) = (-cos(x))^2 = cos^2(x)$.
Подставим это обратно в выражение:
$sin^2(x) - cos^2(x) = -(cos^2(x) - sin^2(x))$.
По формуле косинуса двойного угла $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, получаем:
$-(cos(2x)) = -cos(2x)$.
Теперь подставим обратно значение $x = \beta - \frac{5\pi}{12}$:
$-cos(2(\beta - \frac{5\pi}{12})) = -cos(2\beta - \frac{10\pi}{12}) = -cos(2\beta - \frac{5\pi}{6})$.
Для упрощения вида ответа воспользуемся свойством $cos(y - \pi) = -cos(y)$, откуда $-cos(y) = cos(y-\pi)$ или $-cos(y) = cos(y+\pi)$.
Пусть $y = 2\beta - \frac{5\pi}{6}$. Тогда $-cos(2\beta - \frac{5\pi}{6}) = cos((2\beta - \frac{5\pi}{6}) + \pi) = cos(2\beta - \frac{5\pi}{6} + \frac{6\pi}{6}) = cos(2\beta + \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $cos(2\beta + \frac{\pi}{6})$