Номер 29.12, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.12. Вычислите:

1) $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}};

2) $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = 0,8;

3) $\sin^3\alpha - \cos^3\alpha$, если $\sin\alpha - \cos\alpha = 1,2;

4) $\frac{1}{\sin^4\alpha} + \frac{1}{\cos^4\alpha}$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}};

5) $\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sin^3\alpha} + \frac{1}{\cos^3\alpha}\right)$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}};

6) $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для решения подобных задач полезно найти значение произведения $\sin \alpha \cos \alpha$. Для этого возведем в квадрат данное в условии равенство:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$

$\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем:

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

$\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$

Теперь преобразуем искомое выражение $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1^2 - 2 (\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Подставим найденное значение $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$:

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 (-\frac{1}{4})^2 = 1 - 2 (\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$. Возведем в квадрат данное равенство:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (0,8)^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,64$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = 0,64 - 1 = -0,36$

$\sin \alpha \cos \alpha = -0,18$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)$

Подставим известные значения:

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = 0,8 \cdot (1 - (-0,18)) = 0,8 \cdot (1 + 0,18) = 0,8 \cdot 1,18 = 0,944$

Ответ: $0,944$

3) $\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha$, если $\sin \alpha - \cos \alpha = 1,2$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$. Возведем в квадрат данное равенство:

$(\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = (1,2)^2$

$\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1,44$

$1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1,44$

$-2 \sin \alpha \cos \alpha = 1,44 - 1 = 0,44$

$\sin \alpha \cos \alpha = -0,22$

Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha)$

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$

Подставим известные значения:

$\sin^3 \alpha - \cos^3 \alpha = 1,2 \cdot (1 + (-0,22)) = 1,2 \cdot (1 - 0,22) = 1,2 \cdot 0,78 = 0,936$

Ответ: $0,936$

4) $\frac{1}{\sin^4 \alpha} + \frac{1}{\cos^4 \alpha}$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Найдем произведение $\sin \alpha \cos \alpha$:

$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^2$

$1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{2}$

$2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$

Преобразуем искомое выражение, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{\sin^4 \alpha} + \frac{1}{\cos^4 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha}{\sin^4 \alpha \cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha}{(\sin \alpha \cos \alpha)^4}$

Найдем числитель, как в задаче 1: $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2(\sin \alpha \cos \alpha)^2$.

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Теперь подставим значения числителя и знаменателя в дробь:

$\frac{\frac{7}{8}}{(\frac{1}{4})^4} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{256}} = \frac{7}{8} \cdot 256 = 7 \cdot 32 = 224$

Ответ: $224$

5) $\sqrt{2} \frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha}$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Предполагая, что выражение имеет вид $\sqrt{2} (\frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha})$, начнем с нахождения $\sin \alpha \cos \alpha$. Из задачи 1 мы знаем, что если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то $\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{4}$.

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{1}{\sin^3 \alpha} + \frac{1}{\cos^3 \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha + \sin^3 \alpha}{\sin^3 \alpha \cos^3 \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha}{(\sin \alpha \cos \alpha)^3}$

Найдем числитель, как в задаче 2: $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(1 - \sin \alpha \cos \alpha)$.

$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - (-\frac{1}{4})) = \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + \frac{1}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4\sqrt{2}}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\frac{5}{4\sqrt{2}}}{(-\frac{1}{4})^3} = \frac{\frac{5}{4\sqrt{2}}}{-\frac{1}{64}} = \frac{5}{4\sqrt{2}} \cdot (-64) = -\frac{5 \cdot 16}{\sqrt{2}} = -\frac{80}{\sqrt{2}} = -40\sqrt{2}$

И, наконец, умножим на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} \cdot (-40\sqrt{2}) = -40 \cdot 2 = -80$

Ответ: $-80$

6) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$, если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Из задачи 4 мы знаем, что если $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, то $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$.

Преобразуем искомое выражение, рассматривая его как сумму кубов $(\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3$:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha)$

Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выражение упрощается:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

Мы уже знаем, что $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$. Подставим это:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3(\sin \alpha \cos \alpha)^2$

Подставим значение $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$:

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1 - 3(\frac{1}{4})^2 = 1 - 3(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}$

Ответ: $\frac{13}{16}$