Номер 29.5, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.5. Вычислите:

1) $\frac{4(\cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ})}{\sqrt{2} \sin 25^{\circ}}$

2) $\frac{\sqrt{2}(\cos 25^{\circ} - \sin 25^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$

3) $\frac{1 - 2\cos^2 13^{\circ}}{\cos 26^{\circ}}$

4) $\frac{1 - 2\sin^2 46^{\circ}}{8\cos 92^{\circ}}$

1) Вычислим значение выражения $\frac{4(\cos20^\circ - \sin20^\circ)}{\sqrt{2}\sin25^\circ}$.

Сначала преобразуем выражение в числителе $(\cos20^\circ - \sin20^\circ)$, используя формулу вспомогательного угла. Для этого умножим и разделим его на $\sqrt{2}$:

$\cos20^\circ - \sin20^\circ = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos20^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin20^\circ)$.

Так как $\cos45^\circ = \sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на соответствующие тригонометрические функции:

$\sqrt{2}(\cos45^\circ\cos20^\circ - \sin45^\circ\sin20^\circ)$.

Это соответствует формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\sqrt{2}\cos(45^\circ + 20^\circ) = \sqrt{2}\cos65^\circ$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$\frac{4 \cdot \sqrt{2}\cos65^\circ}{\sqrt{2}\sin25^\circ}$.

Сокращаем $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4\cos65^\circ}{\sin25^\circ}$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos65^\circ = \sin(90^\circ - 65^\circ) = \sin25^\circ$.

Подставляем и сокращаем:

$\frac{4\sin25^\circ}{\sin25^\circ} = 4$.

Ответ: 4.

2) Вычислим значение выражения $\frac{\sqrt{2}(\cos25^\circ - \sin25^\circ)}{\sin20^\circ}$.

Преобразуем числитель аналогично предыдущему пункту:

$\sqrt{2}(\cos25^\circ - \sin25^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos25^\circ - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin25^\circ) = 2(\cos45^\circ\cos25^\circ - \sin45^\circ\sin25^\circ)$.

Применяем формулу косинуса суммы:

$2\cos(45^\circ + 25^\circ) = 2\cos70^\circ$.

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{2\cos70^\circ}{\sin20^\circ}$.

Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin20^\circ$.

Подставляем и получаем результат:

$\frac{2\sin20^\circ}{\sin20^\circ} = 2$.

Ответ: 2.

3) Вычислим значение выражения $\frac{1 - 2\cos^2 13^\circ}{\cos26^\circ}$.

В числителе вынесем минус за скобки:

$1 - 2\cos^2 13^\circ = -(2\cos^2 13^\circ - 1)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Применив ее, получаем: $-(2\cos^2 13^\circ - 1) = -\cos(2 \cdot 13^\circ) = -\cos26^\circ$.

Подставляем в исходную дробь:

$\frac{-\cos26^\circ}{\cos26^\circ} = -1$.

Ответ: -1.

4) Вычислим значение выражения $\frac{1 - 2\sin^2 46^\circ}{8\cos92^\circ}$.

Числитель $1 - 2\sin^2 46^\circ$ является формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Применив ее, получаем: $1 - 2\sin^2 46^\circ = \cos(2 \cdot 46^\circ) = \cos92^\circ$.

Подставляем в исходную дробь:

$\frac{\cos92^\circ}{8\cos92^\circ}$.

Сокращаем $\cos92^\circ$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$.