Номер 29.3, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.3. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $ \frac{3\cos215^\circ - 4\cos35^\circ - 2\sin125^\circ}{\cos17^\circ \cos18^\circ - \cos73^\circ \cos72^\circ} $

2) $ \frac{5\sin211^\circ + 8\cos59^\circ - 5\sin31^\circ}{\sin54^\circ \sin67^\circ - \sin36^\circ \sin23^\circ} $

3) $ \frac{7\cos29^\circ - 2\cos151^\circ + 4\sin61^\circ}{\cos67^\circ \cos38^\circ + \cos23^\circ \cos52^\circ} $

4) $ \frac{2\sin54^\circ + 3\cos36^\circ - 2\cos144^\circ}{\sin70^\circ \sin74^\circ - \sin20^\circ \sin16^\circ} $

1) Упростим выражение $\frac{3\cos{215^\circ} - 4\cos{35^\circ} - 2\sin{125^\circ}}{\cos{17^\circ}\cos{18^\circ} - \cos{73^\circ}\cos{72^\circ}}$.
Сначала преобразуем числитель, используя формулы приведения. Углы $215^\circ$ и $125^\circ$ приведем к углу $35^\circ$.
$\cos{215^\circ} = \cos(180^\circ + 35^\circ) = -\cos{35^\circ}$
$\sin{125^\circ} = \sin(90^\circ + 35^\circ) = \cos{35^\circ}$
Подставим эти значения в числитель:
$3(-\cos{35^\circ}) - 4\cos{35^\circ} - 2\cos{35^\circ} = (-3 - 4 - 2)\cos{35^\circ} = -9\cos{35^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения для $\cos{73^\circ}$ и $\cos{72^\circ}$:
$\cos{73^\circ} = \cos(90^\circ - 17^\circ) = \sin{17^\circ}$
$\cos{72^\circ} = \cos(90^\circ - 18^\circ) = \sin{18^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{17^\circ}\cos{18^\circ} - \sin{17^\circ}\sin{18^\circ}$.
Это формула косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$.
Следовательно, знаменатель равен $\cos(17^\circ + 18^\circ) = \cos{35^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-9\cos{35^\circ}}{\cos{35^\circ}} = -9$.
Ответ: -9

2) Упростим выражение $\frac{5\sin{211^\circ} + 8\cos{59^\circ} - 5\sin{31^\circ}}{\sin{54^\circ}\sin{67^\circ} - \sin{36^\circ}\sin{23^\circ}}$.
Упростим числитель, приведя все функции к углу $31^\circ$:
$\sin{211^\circ} = \sin(180^\circ + 31^\circ) = -\sin{31^\circ}$
$\cos{59^\circ} = \cos(90^\circ - 31^\circ) = \sin{31^\circ}$
Подставим в числитель:
$5(-\sin{31^\circ}) + 8\sin{31^\circ} - 5\sin{31^\circ} = (-5 + 8 - 5)\sin{31^\circ} = -2\sin{31^\circ}$.
Теперь упростим знаменатель. Используем формулы приведения:
$\sin{54^\circ} = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos{36^\circ}$
$\sin{67^\circ} = \sin(90^\circ - 23^\circ) = \cos{23^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{36^\circ}\cos{23^\circ} - \sin{36^\circ}\sin{23^\circ}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:
Знаменатель равен $\cos(36^\circ + 23^\circ) = \cos{59^\circ}$.
Приведем $\cos{59^\circ}$ к функции от угла $31^\circ$: $\cos{59^\circ} = \cos(90^\circ - 31^\circ) = \sin{31^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{-2\sin{31^\circ}}{\sin{31^\circ}} = -2$.
Ответ: -2

3) Упростим выражение $\frac{7\cos{29^\circ} - 2\cos{151^\circ} + 4\sin{61^\circ}}{\cos{67^\circ}\cos{38^\circ} + \cos{23^\circ}\cos{52^\circ}}$.
Преобразуем числитель, приведя все функции к углу $29^\circ$:
$\cos{151^\circ} = \cos(180^\circ - 29^\circ) = -\cos{29^\circ}$
$\sin{61^\circ} = \sin(90^\circ - 29^\circ) = \cos{29^\circ}$
Подставим в числитель:
$7\cos{29^\circ} - 2(-\cos{29^\circ}) + 4\cos{29^\circ} = (7 + 2 + 4)\cos{29^\circ} = 13\cos{29^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:
$\cos{67^\circ} = \cos(90^\circ - 23^\circ) = \sin{23^\circ}$
$\cos{52^\circ} = \cos(90^\circ - 38^\circ) = \sin{38^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\sin{23^\circ}\cos{38^\circ} + \cos{23^\circ}\sin{38^\circ}$.
Это формула синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Следовательно, знаменатель равен $\sin(23^\circ + 38^\circ) = \sin{61^\circ}$.
Приведем $\sin{61^\circ}$ к функции от угла $29^\circ$: $\sin{61^\circ} = \sin(90^\circ - 29^\circ) = \cos{29^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{13\cos{29^\circ}}{\cos{29^\circ}} = 13$.
Ответ: 13

4) Упростим выражение $\frac{2\sin{54^\circ} + 3\cos{36^\circ} - 2\cos{144^\circ}}{\sin{70^\circ}\sin{74^\circ} - \sin{20^\circ}\sin{16^\circ}}$.
Преобразуем числитель, приведя все функции к углу $36^\circ$:
$\sin{54^\circ} = \sin(90^\circ - 36^\circ) = \cos{36^\circ}$
$\cos{144^\circ} = \cos(180^\circ - 36^\circ) = -\cos{36^\circ}$
Подставим в числитель:
$2\cos{36^\circ} + 3\cos{36^\circ} - 2(-\cos{36^\circ}) = (2 + 3 + 2)\cos{36^\circ} = 7\cos{36^\circ}$.
Теперь преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:
$\sin{70^\circ} = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos{20^\circ}$
$\sin{74^\circ} = \sin(90^\circ - 16^\circ) = \cos{16^\circ}$
Знаменатель примет вид: $\cos{20^\circ}\cos{16^\circ} - \sin{20^\circ}\sin{16^\circ}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$:
Знаменатель равен $\cos(20^\circ + 16^\circ) = \cos{36^\circ}$.
Найдем значение дроби:
$\frac{7\cos{36^\circ}}{\cos{36^\circ}} = 7$.
Ответ: 7