Номер 29.2, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.2. Найдите значение выражения, предварительно преобразовав его:

1) $\sin 7^\circ \cos 23^\circ + \sin 23^\circ \cos 7^\circ + 1;$

2) $\frac{4 \sin 25^\circ \sin 65^\circ}{\cos 40^\circ};$

3) $\frac{\operatorname{tg} 22^\circ + \operatorname{tg} 23^\circ}{1 - \operatorname{tg} 22^\circ \operatorname{tg} 23^\circ};$

4) $\sin 64^\circ \cos 26^\circ + \cos 64^\circ \sin 26^\circ - \sin 30^\circ;$

5) $\frac{\cos 14^\circ + \sin 14^\circ + \cos 42^\circ + \sin 42^\circ}{\sqrt{2} \cos 14^\circ \sin 73^\circ};$

6) $\frac{\sin 36^\circ \sin 40^\circ + \cos 62^\circ + \cos 42^\circ}{4 \cos 6^\circ \cos 4^\circ \sin 38^\circ};$

7) $\sin 8^\circ - \sin 10^\circ - \sin 12^\circ + \sin 14^\circ;$

8) $\frac{\cos 5^\circ + \cos 85^\circ + \sin 75^\circ + \sin 15^\circ}{4 \sqrt{2} \cos 5^\circ \sin 55^\circ}.$

1) Используем формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
Выражение $\sin7^\circ \cos23^\circ + \sin23^\circ \cos7^\circ$ является развернутой формулой для $\sin(7^\circ + 23^\circ)$.
$\sin7^\circ \cos23^\circ + \sin23^\circ \cos7^\circ + 1 = \sin(7^\circ + 23^\circ) + 1 = \sin(30^\circ) + 1$.
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: 1.5.

2) Преобразуем числитель, используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$.
$\sin65^\circ = \sin(90^\circ - 25^\circ) = \cos25^\circ$.
Тогда числитель $4\sin25^\circ \sin65^\circ$ становится $4\sin25^\circ \cos25^\circ$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
$4\sin25^\circ \cos25^\circ = 2 \cdot (2\sin25^\circ \cos25^\circ) = 2\sin(2 \cdot 25^\circ) = 2\sin50^\circ$.
Теперь все выражение имеет вид: $\frac{2\sin50^\circ}{\cos40^\circ}$.
Снова используем формулу приведения: $\sin50^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \cos40^\circ$.
$\frac{2\cos40^\circ}{\cos40^\circ} = 2$.
Ответ: 2.

3) Используем формулу тангенса суммы двух углов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.
Выражение $\frac{\tan22^\circ + \tan23^\circ}{1 - \tan22^\circ \tan23^\circ}$ соответствует этой формуле при $\alpha = 22^\circ$ и $\beta = 23^\circ$.
$\frac{\tan22^\circ + \tan23^\circ}{1 - \tan22^\circ \tan23^\circ} = \tan(22^\circ + 23^\circ) = \tan(45^\circ)$.
Так как $\tan(45^\circ) = 1$.
Ответ: 1.

4) Используем формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.
$\sin64^\circ \cos26^\circ + \cos64^\circ \sin26^\circ - \sin30^\circ = \sin(64^\circ + 26^\circ) - \sin30^\circ = \sin(90^\circ) - \sin30^\circ$.
Мы знаем, что $\sin(90^\circ) = 1$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0.5.

5) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(\cos14^\circ + \cos42^\circ) + (\sin14^\circ + \sin42^\circ)$.
Применим формулы суммы в произведение: $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ и $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos42^\circ + \cos14^\circ = 2\cos\frac{42^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-14^\circ}{2} = 2\cos28^\circ\cos14^\circ$.
$\sin42^\circ + \sin14^\circ = 2\sin\frac{42^\circ+14^\circ}{2}\cos\frac{42^\circ-14^\circ}{2} = 2\sin28^\circ\cos14^\circ$.
Числитель: $2\cos28^\circ\cos14^\circ + 2\sin28^\circ\cos14^\circ = 2\cos14^\circ(\cos28^\circ + \sin28^\circ)$.
Преобразуем выражение в скобках: $\cos28^\circ + \sin28^\circ = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos28^\circ + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin28^\circ) = \sqrt{2}(\cos45^\circ\cos28^\circ + \sin45^\circ\sin28^\circ) = \sqrt{2}\cos(45^\circ-28^\circ) = \sqrt{2}\cos17^\circ$.
Используем формулу приведения $\cos17^\circ = \sin(90^\circ-17^\circ) = \sin73^\circ$.
Таким образом, числитель равен $2\cos14^\circ \cdot \sqrt{2}\sin73^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{2\sqrt{2}\cos14^\circ \sin73^\circ}{\sqrt{2}\cos14^\circ \sin73^\circ} = 2$.
Ответ: 2.

6) Заданное выражение, вероятно, содержит опечатку в числителе. Если предположить, что вместо произведения $\sin36^\circ \sin40^\circ$ должна быть сумма $\sin36^\circ + \sin40^\circ$, то решение становится последовательным и приводит к простому ответу. Решим задачу с этим предположением.
Выражение: $\frac{\sin36^\circ + \sin40^\circ + \cos62^\circ + \cos42^\circ}{4\cos6^\circ \cos4^\circ \sin38^\circ}$.
Преобразуем числитель, используя формулы приведения: $\cos62^\circ = \sin(90^\circ-62^\circ) = \sin28^\circ$, $\cos42^\circ = \sin(90^\circ-42^\circ) = \sin48^\circ$.
Числитель: $\sin36^\circ + \sin40^\circ + \sin28^\circ + \sin48^\circ$.
Преобразуем знаменатель, используя формулу произведения косинусов: $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)$.
$4\cos6^\circ \cos4^\circ \sin38^\circ = 2(2\cos6^\circ \cos4^\circ) \sin38^\circ = 2(\cos2^\circ + \cos10^\circ)\sin38^\circ = 2\sin38^\circ\cos2^\circ + 2\sin38^\circ\cos10^\circ$.
Применим формулу произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
$2\sin38^\circ\cos2^\circ = \sin(38^\circ+2^\circ) + \sin(38^\circ-2^\circ) = \sin40^\circ + \sin36^\circ$.
$2\sin38^\circ\cos10^\circ = \sin(38^\circ+10^\circ) + \sin(38^\circ-10^\circ) = \sin48^\circ + \sin28^\circ$.
Знаменатель: $\sin40^\circ + \sin36^\circ + \sin48^\circ + \sin28^\circ$.
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.
Ответ: 1.

7) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(\sin14^\circ + \sin8^\circ) - (\sin12^\circ + \sin10^\circ)$.
Применим формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin14^\circ + \sin8^\circ = 2\sin\frac{14^\circ+8^\circ}{2}\cos\frac{14^\circ-8^\circ}{2} = 2\sin11^\circ\cos3^\circ$.
$\sin12^\circ + \sin10^\circ = 2\sin\frac{12^\circ+10^\circ}{2}\cos\frac{12^\circ-10^\circ}{2} = 2\sin11^\circ\cos1^\circ$.
Числитель: $2\sin11^\circ\cos3^\circ - 2\sin11^\circ\cos1^\circ = 2\sin11^\circ(\cos3^\circ - \cos1^\circ)$.
Применим формулу разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos3^\circ - \cos1^\circ = -2\sin\frac{3^\circ+1^\circ}{2}\sin\frac{3^\circ-1^\circ}{2} = -2\sin2^\circ\sin1^\circ$.
Числитель: $2\sin11^\circ(-2\sin2^\circ\sin1^\circ) = -4\sin11^\circ\sin2^\circ\sin1^\circ$.
Подставим в исходное выражение: $\frac{-4\sin11^\circ\sin2^\circ\sin1^\circ}{4\sin11^\circ \cos1^\circ \sin^2 1^\circ} = \frac{-\sin2^\circ\sin1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ}$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin2^\circ = 2\sin1^\circ\cos1^\circ$:
$\frac{-(2\sin1^\circ\cos1^\circ)\sin1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ} = \frac{-2\cos1^\circ\sin^2 1^\circ}{\cos1^\circ\sin^2 1^\circ} = -2$.
Ответ: -2.

8) Преобразуем числитель, используя формулы приведения: $\cos85^\circ = \sin5^\circ$, $\sin75^\circ = \cos15^\circ$.
Числитель: $\cos5^\circ + \sin5^\circ + \cos15^\circ + \sin15^\circ = (\cos5^\circ+\sin5^\circ) + (\cos15^\circ+\sin15^\circ)$.
Преобразуем суммы в скобках: $\cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2}\sin(\alpha+45^\circ)$.
$\cos5^\circ + \sin5^\circ = \sqrt{2}\sin(5^\circ+45^\circ) = \sqrt{2}\sin50^\circ$.
$\cos15^\circ + \sin15^\circ = \sqrt{2}\sin(15^\circ+45^\circ) = \sqrt{2}\sin60^\circ$.
Числитель: $\sqrt{2}\sin50^\circ + \sqrt{2}\sin60^\circ = \sqrt{2}(\sin50^\circ + \sin60^\circ)$.
Исходное выражение: $\frac{\sqrt{2}(\sin50^\circ + \sin60^\circ)}{4\sqrt{2}\cos5^\circ \sin55^\circ} = \frac{\sin50^\circ + \sin60^\circ}{4\cos5^\circ \sin55^\circ}$.
Используем формулы приведения: $\sin50^\circ = \cos40^\circ$, $\sin55^\circ = \cos35^\circ$.
$\frac{\cos40^\circ + \sin60^\circ}{4\cos5^\circ \cos35^\circ}$.
Преобразуем знаменатель: $4\cos5^\circ\cos35^\circ = 2(2\cos5^\circ\cos35^\circ) = 2(\cos(35-5)^\circ+\cos(35+5)^\circ) = 2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)$.
Выражение: $\frac{\cos40^\circ + \sin60^\circ}{2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)}$.
Так как $\sin60^\circ = \cos30^\circ$, числитель равен выражению в скобках в знаменателе.
$\frac{\cos40^\circ + \cos30^\circ}{2(\cos30^\circ + \cos40^\circ)} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0.5.