Номер 28.22, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28.22. Найдите значение выражения:

1) $1 + \sin^2 68^\circ - \sin^2 38^\circ - 0.5\sin 106^\circ$;

2) $\sin^2 35^\circ + \sin^2 25^\circ + 0.5\cos 10^\circ - 3$.

1)Для решения воспользуемся формулой разности квадратов синусов: $ \sin^2{\alpha} - \sin^2{\beta} = \sin(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta) $.
Исходное выражение: $ 1 + \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} - 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Применим формулу к части выражения $ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} $:
$ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} = \sin(68^\circ - 38^\circ)\sin(68^\circ + 38^\circ) = \sin{30^\circ}\sin{106^\circ} $.
Мы знаем, что $ \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $.
Следовательно, $ \sin^2{68^\circ} - \sin^2{38^\circ} = 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$ 1 + 0{,}5\sin{106^\circ} - 0{,}5\sin{106^\circ} $.
Члены $ 0{,}5\sin{106^\circ} $ и $ -0{,}5\sin{106^\circ} $ взаимно уничтожаются.
В результате получаем: $ 1 + 0 = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

2)Для решения воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
Исходное выражение: $ \sin^2{35^\circ} + \sin^2{25^\circ} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Применим формулу к каждому из слагаемых с квадратом синуса:
$ \sin^2{35^\circ} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 35^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos{70^\circ}}{2} $
$ \sin^2{25^\circ} = \frac{1 - \cos(2 \cdot 25^\circ)}{2} = \frac{1 - \cos{50^\circ}}{2} $
Подставим эти выражения в исходное:
$ \frac{1 - \cos{70^\circ}}{2} + \frac{1 - \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = \frac{1 - \cos{70^\circ} + 1 - \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = \frac{2 - (\cos{70^\circ} + \cos{50^\circ})}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $
$ = 1 - \frac{\cos{70^\circ} + \cos{50^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Теперь используем формулу суммы косинусов: $ \cos{\alpha} + \cos{\beta} = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ \cos{70^\circ} + \cos{50^\circ} = 2\cos\frac{70^\circ + 50^\circ}{2}\cos\frac{70^\circ - 50^\circ}{2} = 2\cos{60^\circ}\cos{10^\circ} $.
Мы знаем, что $ \cos{60^\circ} = \frac{1}{2} = 0{,}5 $.
Следовательно, $ \cos{70^\circ} + \cos{50^\circ} = 2 \cdot 0{,}5 \cdot \cos{10^\circ} = \cos{10^\circ} $.
Подставим это значение в наше выражение:
$ 1 - \frac{\cos{10^\circ}}{2} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Так как $ \frac{\cos{10^\circ}}{2} = 0{,}5\cos{10^\circ} $, то выражение становится:
$ 1 - 0{,}5\cos{10^\circ} + 0{,}5\cos{10^\circ} - 3 $.
Члены $ -0{,}5\cos{10^\circ} $ и $ +0{,}5\cos{10^\circ} $ взаимно уничтожаются.
В результате получаем: $ 1 - 3 = -2 $.
Ответ: $ -2 $.