Вопросы, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Преобразование каких частей тождества можно выполнять для его доказательства?

Для доказательства тождества, то есть равенства, которое является верным для всех допустимых значений входящих в него переменных, можно использовать несколько основных методов. Все они основаны на выполнении тождественных (равносильных) преобразований над левой и/или правой частями равенства.

Преобразование левой части тождества

Этот метод заключается в том, чтобы с помощью тождественных преобразований (таких как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул и т.д.) изменить левую часть равенства таким образом, чтобы она стала полностью идентичной правой части. Правая часть при этом не изменяется. Например, докажем тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Преобразуем левую часть: $(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.
В результате преобразований левая часть стала равна правой ($a^2 - b^2 = a^2 - b^2$), следовательно, тождество доказано.

Ответ: Можно выполнять тождественные преобразования левой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части.

Преобразование правой части тождества

Этот метод является зеркальным отражением предыдущего. Выполняются тождественные преобразования над правой частью равенства, чтобы привести её к виду левой части. Левая часть при этом остается неизменной. Например, докажем тождество $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Преобразуем правую часть: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.
Правая часть стала равна левой ($a^3 - b^3 = a^3 - b^3$), что и требовалось доказать.

Ответ: Можно выполнять тождественные преобразования правой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной левой части.

Одновременное (независимое) преобразование обеих частей тождества

Иногда бывает сложно или громоздко привести одну часть к другой напрямую. В таких случаях можно преобразовывать обе части равенства по отдельности, стремясь привести их к одному и тому же выражению. Если в результате преобразований левая часть $L$ приводится к виду $E$, и правая часть $R$ также приводится к виду $E$, то из верных равенств $L=E$ и $R=E$ следует истинность исходного равенства $L=R$.
Например, докажем тождество $\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
Преобразуем левую часть, домножив числитель и знаменатель на $(1+\cos \alpha)$: $\frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)} = \frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{1-\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha(1+\cos \alpha)}{\sin^2 \alpha} = \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
В данном случае удалось привести левую часть к правой, но этот метод также иллюстрирует идею приведения к общему виду, если бы мы остановились на промежуточном шаге для обеих частей.

Ответ: Можно преобразовывать левую и правую части независимо друг от друга, чтобы показать, что они обе равны некоторому третьему выражению.

Доказательство с помощью разности

Этот метод заключается в том, чтобы показать, что разность между левой и правой частями тождества равна нулю. Для доказательства тождества $A=B$ составляется разность $A-B$, которая затем тождественными преобразованиями приводится к нулю. Если $A-B=0$, то это равносильно тому, что $A=B$.
Например, докажем тождество $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Составим разность левой и правой частей:
$(a+b)^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = (a^2+2ab+b^2) - a^2 - 2ab - b^2 = 0$.
Так как разность равна нулю, тождество доказано.

Ответ: Можно преобразовать разность левой и правой частей тождества и доказать, что она тождественно равна нулю.