Номер 29.7, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.7. Найдите значение тригонометрического выражения:

1) $\frac{\cos11\alpha + 3\cos9\alpha + 3\cos7\alpha + \cos5\alpha}{\cos8\alpha}$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$;

2) $\cos2\alpha - \cos6\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$;

3) $\sin5\alpha - \sin3\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$;

4) $\cos3\alpha - \cos5\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

1) Сначала упростим числитель выражения, сгруппировав слагаемые:
$(\cos(11\alpha) + \cos(5\alpha)) + 3(\cos(9\alpha) + \cos(7\alpha))$
Применим формулу суммы косинусов $\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
$\cos(11\alpha) + \cos(5\alpha) = 2\cos\frac{11\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{11\alpha-5\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(3\alpha)$
$\cos(9\alpha) + \cos(7\alpha) = 2\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha-7\alpha}{2} = 2\cos(8\alpha)\cos(\alpha)$
Подставим полученные выражения обратно в числитель:
$2\cos(8\alpha)\cos(3\alpha) + 3(2\cos(8\alpha)\cos(\alpha)) = 2\cos(8\alpha)(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))$
Теперь всё выражение выглядит так:
$\frac{2\cos(8\alpha)(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))}{\cos(8\alpha)} = 2(\cos(3\alpha) + 3\cos(\alpha))$
Используем формулу косинуса тройного угла $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$:
$2(4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha + 3\cos\alpha) = 2(4\cos^3\alpha) = 8\cos^3\alpha$
Подставим данное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$8 \cdot (\frac{1}{3})^3 = 8 \cdot \frac{1}{27} = \frac{8}{27}$
Ответ: $\frac{8}{27}$

2) Для нахождения значения выражения $\cos(2\alpha) - \cos(6\alpha)$ при $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ выразим всё через $\cos\alpha$.
Сначала найдем $\cos(2\alpha)$ по формуле двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:
$\cos(2\alpha) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$
Теперь найдем $\cos(6\alpha)$, используя формулу тройного угла для аргумента $2\alpha$, $\cos(6\alpha) = \cos(3 \cdot 2\alpha) = 4\cos^3(2\alpha) - 3\cos(2\alpha)$:
$\cos(6\alpha) = 4(-\frac{1}{3})^3 - 3(-\frac{1}{3}) = 4(-\frac{1}{27}) + 1 = -\frac{4}{27} + \frac{27}{27} = \frac{23}{27}$
Вычислим итоговое значение:
$\cos(2\alpha) - \cos(6\alpha) = -\frac{1}{3} - \frac{23}{27} = -\frac{9}{27} - \frac{23}{27} = -\frac{32}{27}$
Ответ: $-\frac{32}{27}$

3) Для нахождения значения выражения $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)$ при $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ воспользуемся формулой разности синусов $\sin(x) - \sin(y) = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\cos\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$
Нам дано $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Нужно найти $\cos(4\alpha)$.
Сначала найдем $\cos(2\alpha)$ через $\sin\alpha$, используя формулу $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:
$\cos(2\alpha) = 1 - 2(\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{5} = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Теперь найдем $\cos(4\alpha)$ через $\cos(2\alpha)$, используя формулу $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$:
$\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1 = 2(-\frac{3}{5})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{25} - 1 = \frac{18}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{7}{25}$
Подставим найденные значения в выражение $2\cos(4\alpha)\sin(\alpha)$:
$2 \cdot (-\frac{7}{25}) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{28}{25\sqrt{5}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{28\sqrt{5}}{25\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} = -\frac{28\sqrt{5}}{25 \cdot 5} = -\frac{28\sqrt{5}}{125}$
Ответ: $-\frac{28\sqrt{5}}{125}$

4) Для нахождения значения выражения $\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha)$ при $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ воспользуемся формулой разности косинусов $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(3\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin\frac{3\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-5\alpha}{2} = -2\sin(4\alpha)\sin(-\alpha) = 2\sin(4\alpha)\sin(\alpha)$
Выразим $\sin(4\alpha)$ и $\sin(\alpha)$ через $\cos(\alpha)$.
$\sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = 2(2\sin\alpha\cos\alpha)\cos(2\alpha) = 4\sin\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)$
Подставим это в наше выражение:
$2 \cdot (4\sin\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)) \cdot \sin\alpha = 8\sin^2\alpha\cos\alpha\cos(2\alpha)$
Найдем необходимые значения. Нам дано $\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$
Подставим все значения в итоговое выражение:
$8 \cdot (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{16}{9\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{16\sqrt{3}}{9\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = -\frac{16\sqrt{3}}{9 \cdot 3} = -\frac{16\sqrt{3}}{27}$
Ответ: $-\frac{16\sqrt{3}}{27}$