Номер 29.9, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.9. Вычислите:

1) $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$, если $\sin x = 0,21$;

2) $\operatorname{tg} x$, если $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,4}$;

3) $\cos x$, если $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5}$;

4) $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$, если $\sin x = -0,44$;

5) $\sin x$, если $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0,6$;

6) $\sqrt{10} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)$, если $\cos x = 0,8$.

1) Требуется вычислить значение выражения $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 + \sin x$

По условию $\sin x = 0,21$. Подставим это значение:

$1 + 0,21 = 1,21$

Следовательно, $(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1,21$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{1,21} = \pm 1,1$

Так как в условии не задан промежуток для $x$, возможны оба знака.

Ответ: $\pm 1,1$.

2) Дано, что $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,4}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = (\sqrt{0,4})^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,4$

$1 + \sin x = 0,4$

Отсюда находим $\sin x$: $\sin x = 0,4 - 1 = -0,6$.

Теперь найдем $\cos x$ из основного тригонометрического тождества:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

$\cos x = \pm\sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Чтобы определить знак $\cos x$, проанализируем условие. Так как $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = -0,6 < 0$, то $\sin\frac{x}{2}$ и $\cos\frac{x}{2}$ имеют разные знаки. При этом их сумма $\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2} = \sqrt{0,4} > 0$. Это означает, что $x/2$ находится в таком квадранте, где положительное значение (синуса или косинуса) по модулю больше отрицательного. Это возможно, если $x/2$ находится во II или IV квадранте, но ближе к осям OY или OX соответственно (например, $x/2 \in (\pi/2, 3\pi/4)$ или $x/2 \in (7\pi/4, 2\pi)$). В этих случаях угол $x$ будет находиться в III квадранте, где $\cos x < 0$.

Следовательно, $\cos x = -0,8$.

Теперь вычислим $\operatorname{tg}x$:

$\operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$

Ответ: $0,75$.

3) Дано, что $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = (\sqrt{0,5})^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,5$

$1 - \sin x = 0,5$

Отсюда находим $\sin x$: $\sin x = 1 - 0,5 = 0,5$.

Теперь найдем $\cos x$:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - (0,5)^2 = 1 - 0,25 = 0,75$

$\cos x = \pm\sqrt{0,75} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Определим знак $\cos x$. Из условия $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \sqrt{0,5} > 0$ следует, что $\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$. Также $\sin x = 0,5 > 0$, значит $x$ находится в I или II квадранте.
Если $x$ в I квадранте, то $x/2 \in (0, \pi/4)$, где $\cos(x/2) > \sin(x/2)$, что противоречит условию.
Если $x$ во II квадранте, то $x/2 \in (\pi/4, \pi/2)$, где $\sin(x/2) > \cos(x/2)$, что соответствует условию.
Во II квадранте $\cos x$ отрицателен.

Следовательно, $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4) Требуется вычислить значение выражения $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

Используя известные тождества, получаем:

$(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) - 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$

По условию $\sin x = -0,44$. Подставим это значение:

$1 - (-0,44) = 1 + 0,44 = 1,44$

Следовательно, $(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = 1,44$.

Извлекая квадратный корень, получаем:

$\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{1,44} = \pm 1,2$

Так как в условии не задан промежуток для $x$, возможны оба знака.

Ответ: $\pm 1,2$.

5) Дано, что $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} = 0,6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = (0,6)^2$

$\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 0,36$

$1 + \sin x = 0,36$

Отсюда находим $\sin x$:

$\sin x = 0,36 - 1 = -0,64$

Ответ: $-0,64$.

6) Требуется вычислить $\sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$.

Пусть искомое выражение равно $A$. Тогда $A = \sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})$.

Возведем его в квадрат:

$A^2 = \left(\sqrt{10} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})\right)^2 = 10 (\sin^2 \frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})$

$A^2 = 10(1 + \sin x)$

Нам дан $\cos x = 0,8$. Найдем $\sin x$:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$

$\sin x = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $\sin x = 0,6$ (угол $x$ в I квадранте), то $A^2 = 10(1 + 0,6) = 10 \cdot 1,6 = 16$. Тогда $A = \pm 4$. Поскольку для $x$ в I квадранте $\sin(x/2)>0$ и $\cos(x/2)>0$, их сумма положительна, значит $A = 4$.

2. Если $\sin x = -0,6$ (угол $x$ в IV квадранте), то $A^2 = 10(1 - 0,6) = 10 \cdot 0,4 = 4$. Тогда $A = \pm 2$. Для $x$ в IV квадранте ($x \in (3\pi/2, 2\pi)$), $x/2$ находится во II квадранте ($x/2 \in (3\pi/4, \pi)$), где $\sin(x/2)>0$, а $\cos(x/2)<0$ и $|\cos(x/2)|>\sin(x/2)$. Их сумма отрицательна, значит $A = -2$.

Поскольку условие задачи не позволяет однозначно определить квадрант, существует несколько возможных ответов.

Ответ: 4 или -2 (а также -4 и 2 для других периодов $x$).