Номер 29.11, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.11. Найдите значение выражения:

1) $\sin(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{4}$; $\alpha + \beta = \frac{9\pi}{2}$;

2) $\sin(\alpha + \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = -\frac{1}{4}$; $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{2}$;

3) $5 \cos(\alpha - \beta)$, если $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}$; $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$;

4) $4 \sin(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{4}$; $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$.

1) Для решения используем формулу преобразования произведения синуса на косинус в сумму синусов: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Из этой формулы выразим искомое значение: $\sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{4}$ и $\alpha + \beta = \frac{9\pi}{2}$.
Найдем значение $\sin(\alpha + \beta)$:$\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(4\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Теперь подставим все известные значения в нашу формулу:
$\sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Используем ту же формулу: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Нам нужно найти $\sin(\alpha + \beta)$. Выразим его из формулы: $\sin(\alpha + \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha - \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = -\frac{1}{4}$ и $\alpha - \beta = -\frac{\pi}{2}$.
Найдем значение $\sin(\alpha - \beta)$:$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.
Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\alpha + \beta) = 2 \cdot (-\frac{1}{4}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Для решения используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $2\cos\alpha\cos\beta = \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)$.
Нам нужно найти $5\cos(\alpha - \beta)$. Сначала найдем $\cos(\alpha - \beta)$. Выразим его из формулы: $\cos(\alpha - \beta) = 2\cos\alpha\cos\beta - \cos(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}$ и $\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$.
Найдем значение $\cos(\alpha + \beta)$:$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\cos(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем значение искомого выражения:
$5\cos(\alpha - \beta) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$.
Ответ: $2.5$.

4) Вновь используем формулу $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.
Нам нужно найти $4\sin(\alpha - \beta)$. Сначала найдем $\sin(\alpha - \beta)$. Выразим его из формулы: $\sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta - \sin(\alpha + \beta)$.
По условию задачи имеем $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{4}$ и $\alpha + \beta = -\frac{\pi}{6}$.
Найдем значение $\sin(\alpha + \beta)$:$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.
Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\alpha - \beta) = 2 \cdot \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Теперь найдем значение искомого выражения:
$4\sin(\alpha - \beta) = 4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$.