Номер 29.18, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.18. Сократите дробь: $ \frac{4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{4\cos^2 \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) - \sin^2 (2\alpha - 2\pi)} $.

Для сокращения дроби $\frac{4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{4\cos^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) - \sin^2(2\alpha - 2\pi)}$ необходимо упростить её числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала упростим знаменатель дроби: $4\cos^2(\frac{5\pi}{2} - \alpha) - \sin^2(2\alpha - 2\pi)$.
Используем формулы приведения. Учитывая, что $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2}$, получаем:
$\cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$.
Также, функция синус имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(2\alpha - 2\pi) = \sin(2\alpha)$.
Подставляя эти результаты в выражение для знаменателя, получаем:
$4\sin^2 \alpha - \sin^2(2\alpha)$.
Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$:
$4\sin^2 \alpha - (2\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 4\sin^2 \alpha - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 4\sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = 4\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = 4\sin^4 \alpha$.

Далее упростим числитель дроби: $4\cos^2 2\alpha - 4\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha$.
Для удобства выразим все тригонометрические функции через $\sin \alpha$. Используем тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ и формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Возводим в квадрат выражение для косинуса двойного угла: $\cos^2 2\alpha = (1 - 2\sin^2 \alpha)^2 = 1 - 4\sin^2 \alpha + 4\sin^4 \alpha$.
Подставляем полученные выражения в числитель:
$4(1 - 4\sin^2 \alpha + 4\sin^4 \alpha) - 4(1 - \sin^2 \alpha) + 3\sin^2 \alpha$.
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$4 - 16\sin^2 \alpha + 16\sin^4 \alpha - 4 + 4\sin^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha = 16\sin^4 \alpha - 9\sin^2 \alpha$.
Выносим общий множитель $\sin^2 \alpha$ за скобки: $\sin^2 \alpha(16\sin^2 \alpha - 9)$.

Теперь, когда числитель и знаменатель упрощены, подставим их обратно в дробь:
$\frac{\sin^2 \alpha (16\sin^2 \alpha - 9)}{4\sin^4 \alpha}$.
Область допустимых значений исходного выражения требует, чтобы знаменатель не был равен нулю, то есть $4\sin^4 \alpha \neq 0$, что означает $\sin \alpha \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin^2 \alpha$:
$\frac{16\sin^2 \alpha - 9}{4\sin^2 \alpha}$.

Ответ: $\frac{16\sin^2 \alpha - 9}{4\sin^2 \alpha}$