Номер 29.24, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.24. Докажите тождество:

1) $ \frac{\sin 4x}{1 + \cos 4} \cdot \frac{\cos 2x}{1 + \cos 2x} = \text{tg}x; $

2) $ \frac{\cos^3 x - \cos 3x}{\sin^3 x + \sin 3x} = \text{tg}x; $

3) $ \sin 4x + \cos 4x \text{ctg}2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{2\text{tg}x}; $

4) $ 4\sin x \sin \left(\frac{\pi}{3} + x\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin 3x. $

1) Докажем тождество $\frac{\sin4x}{1 + \cos4x} \cdot \frac{\cos2x}{1 + \cos2x} = \tg x$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.

Для первого множителя применим эти формулы, считая $\alpha = 2x$:

$\frac{\sin4x}{1 + \cos4x} = \frac{2\sin2x\cos2x}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin2x}{\cos2x}$.

Для второго множителя применим формулу, считая $\alpha = x$:

$\frac{\cos2x}{1 + \cos2x} = \frac{\cos2x}{2\cos^2x}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{\sin2x}{\cos2x} \cdot \frac{\cos2x}{2\cos^2x} = \frac{\sin2x}{2\cos^2x}$.

Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x\cos x$:

$\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\tg x$.

2) Докажем тождество $\frac{\cos^3 x - \cos3x}{\sin^3 x + \sin3x} = \tg x$.

Используем формулы тройного угла: $\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$ и $\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x$.

Преобразуем числитель дроби:

$\cos^3 x - \cos3x = \cos^3 x - (4\cos^3x - 3\cos x) = \cos^3 x - 4\cos^3x + 3\cos x = 3\cos x - 3\cos^3x = 3\cos x(1 - \cos^2x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем $1 - \cos^2x = \sin^2x$. Таким образом, числитель равен $3\cos x\sin^2x$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\sin^3 x + \sin3x = \sin^3 x + (3\sin x - 4\sin^3x) = \sin^3 x + 3\sin x - 4\sin^3x = 3\sin x - 3\sin^3x = 3\sin x(1 - \sin^2x)$.

Из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2x = \cos^2x$. Таким образом, знаменатель равен $3\sin x\cos^2x$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{3\cos x\sin^2x}{3\sin x\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\tg x$.

3) Докажем тождество $\sin4x + \cos4x\ctg2x = \frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x}$.

Сначала преобразуем левую часть. Запишем $\ctg2x$ как $\frac{\cos2x}{\sin2x}$:

$\sin4x + \cos4x \cdot \frac{\cos2x}{\sin2x}$.

Приведем к общему знаменателю $\sin2x$:

$\frac{\sin4x\sin2x + \cos4x\cos2x}{\sin2x}$.

В числителе используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha=4x$ и $\beta=2x$:

$\frac{\cos(4x-2x)}{\sin2x} = \frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Теперь преобразуем правую часть. Используем формулы $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{2 \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{2\sin x}{\cos x}}$.

Упростим дробь:

$\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{2\sin x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2\sin x \cos x}$.

В числителе стоит формула косинуса двойного угла $\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, а в знаменателе - формула синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$.

Таким образом, правая часть равна $\frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Так как левая и правая части равны $\ctg2x$, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x}$.

4) Докажем тождество $4\sin x\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin3x$.

Преобразуем произведение $\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x)$. Воспользуемся формулами синуса суммы и разности:

$\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.

Их произведение является разностью квадратов:

$\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x) = (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)^2 - (\frac{1}{2}\sin x)^2 = \frac{3}{4}\cos^2x - \frac{1}{4}\sin^2x = \frac{1}{4}(3\cos^2x - \sin^2x)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$4\sin x \cdot \frac{1}{4}(3\cos^2x - \sin^2x) = \sin x(3\cos^2x - \sin^2x)$.

Заменим $\cos^2x$ на $1 - \sin^2x$:

$\sin x(3(1 - \sin^2x) - \sin^2x) = \sin x(3 - 3\sin^2x - \sin^2x) = \sin x(3 - 4\sin^2x) = 3\sin x - 4\sin^3x$.

Полученное выражение является формулой синуса тройного угла: $3\sin x - 4\sin^3x = \sin3x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\sin3x$.