Номер 29.31, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.31. Решите уравнение:

1) $A_x^2 = 7x;$

2) $A_x^2 = 5x + 24.$

1) $A_x^2 = 7x$

Число размещений из $x$ элементов по 2, обозначаемое $A_x^2$, вычисляется по формуле:
$A_x^2 = \frac{x!}{(x-2)!} = x(x-1)$.
По определению числа размещений, $x$ должно быть натуральным числом, и должно выполняться условие $x \ge 2$.

Подставим определение $A_x^2$ в исходное уравнение:
$x(x-1) = 7x$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$x^2 - x = 7x$
$x^2 - x - 7x = 0$
$x^2 - 8x = 0$
$x(x-8) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни области определения ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).
Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 8$ удовлетворяет условиям, так как $8$ — натуральное число и $8 \ge 2$.

Ответ: 8

2) $A_x^2 = 5x + 24$

Аналогично первому пункту, используем формулу для числа размещений $A_x^2 = x(x-1)$ и учитываем область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Подставим формулу в уравнение:
$x(x-1) = 5x + 24$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - x = 5x + 24$
$x^2 - x - 5x - 24 = 0$
$x^2 - 6x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 36 + 96 = 132$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{132}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 33}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{33}}{2} = 3 \pm \sqrt{33}$.
Получаем два корня: $x_1 = 3 - \sqrt{33}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{33}$.

Проверим корни на соответствие области определения.
Приблизительное значение $\sqrt{33}$ составляет $5.74$.
$x_1 = 3 - \sqrt{33} \approx 3 - 5.74 = -2.74$. Это отрицательное число, оно не является натуральным, поэтому корень не подходит.
$x_2 = 3 + \sqrt{33} \approx 3 + 5.74 = 8.74$. Это число не является целым (и, следовательно, натуральным), поэтому данный корень также не подходит.

Поскольку ни один из корней не удовлетворяет условию, что $x$ должно быть натуральным числом, то исходное уравнение не имеет решений в заданной области определения.

Ответ: решений нет.