Номер 3, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Найдите значение $\cos 30^\circ$:

A) $\frac{1}{2}$;

B) 1;

C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

D) $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

3. Чтобы найти значение $\cos(30^\circ)$, можно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным, но его можно легко вывести.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть один из его острых углов равен $30^\circ$. Тогда второй острый угол будет равен $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как $c$, а катет напротив угла $30^\circ$ как $b$. Тогда $b = \frac{c}{2}$.

Найдем второй катет $a$, который является прилежащим к углу $30^\circ$, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$a^2 + (\frac{c}{2})^2 = c^2$

$a^2 + \frac{c^2}{4} = c^2$

$a^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4}$

$a = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для нашего угла в $30^\circ$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Подставим найденное выражение для катета $a$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\frac{c\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{c\sqrt{3}}{2c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C). Для справки: вариант A) $\frac{1}{2}$ — это значение $\sin(30^\circ)$ или $\cos(60^\circ)$; вариант B) $1$ — это значение $\cos(0^\circ)$; вариант D) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — это значение $\tan(30^\circ)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.