Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

11.2. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении бинома Ньютона:

1) $(x+2)^{10}$, $n=3$;

2) $(1-2x)^7$, $n=4$;

3) $(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^8$, $n=-4$.

Для нахождения коэффициента при $x^n$ в разложении бинома Ньютона $(a+b)^m$ используется формула общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_m^k a^{m-k} b^k$,

где $C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$ - биномиальный коэффициент, а $k$ - номер члена, начиная с $k=0$.

1) $(x + 2)^{10}$, $n = 3$

В данном случае $a = x$, $b = 2$, $m = 10$. Мы ищем коэффициент при $x^3$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(x+2)^{10}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} 2^k$.

Степень переменной $x$ в этом члене равна $10-k$. Согласно условию, нам нужно найти член со степенью $x^3$, поэтому приравниваем степени:

$10 - k = 3$

Решая уравнение, получаем $k = 7$.

Теперь находим коэффициент для этого члена, подставив $k=7$ в выражение для коэффициента $C_{10}^k 2^k$:

Коэффициент $= C_{10}^7 \cdot 2^7$.

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$C_{10}^7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычисляем степень двойки:

$2^7 = 128$.

Перемножаем полученные значения:

$120 \cdot 128 = 15360$.

Ответ: 15360.

2) $(1 - 2x)^7$, $n = 4$

Здесь $a = 1$, $b = -2x$, $m = 7$. Мы ищем коэффициент при $x^4$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(1-2x)^7$ равен:

$T_{k+1} = C_7^k (1)^{7-k} (-2x)^k = C_7^k (-2)^k x^k$.

Степень переменной $x$ равна $k$. По условию $n=4$, следовательно:

$k = 4$.

Находим искомый коэффициент, подставив $k=4$:

Коэффициент $= C_7^4 \cdot (-2)^4$.

Вычисляем биномиальный коэффициент:

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вычисляем степень:

$(-2)^4 = 16$.

Перемножаем значения:

$35 \cdot 16 = 560$.

Ответ: 560.

3) $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$, $n = -4$

В этом случае $a = \sqrt{x} = x^{1/2}$, $b = -\frac{2}{x} = -2x^{-1}$, $m = 8$. Ищем коэффициент при $x^{-4}$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_8^k (x^{1/2})^{8-k} (-2x^{-1})^k$.

Упростим выражение, чтобы определить степень $x$:

$T_{k+1} = C_8^k x^{\frac{1}{2}(8-k)} (-2)^k x^{-k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-k}{2} - k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-3k}{2}}$.

Степень переменной $x$ равна $\frac{8-3k}{2}$. По условию $n=-4$, значит:

$\frac{8-3k}{2} = -4$

Решаем уравнение для $k$:

$8 - 3k = -8$

$16 = 3k$

$k = \frac{16}{3}$

Значение $k$ в формуле бинома Ньютона должно быть целым неотрицательным числом в диапазоне от $0$ до $m$ (в нашем случае от 0 до 8). Поскольку $k = \frac{16}{3}$ не является целым числом, это означает, что в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^{-4}$.

Следовательно, коэффициент при $x^{-4}$ равен нулю.

Ответ: 0.

11.3. Найдите сумму биномиальных коэффициентов бинома Ньютона $(x+y)^{11}$.

Формула разложения бинома Ньютона для произвольной натуральной степени $n$ имеет вид:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k}y^k = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1}y^1 + C_n^2 x^{n-2}y^2 + \dots + C_n^n x^0 y^n$.
Величины $C_n^k$, которые также обозначаются как $\binom{n}{k}$, называются биномиальными коэффициентами.

В задаче требуется найти сумму биномиальных коэффициентов для бинома $(x+y)^{11}$. Это означает, что нам нужно найти значение суммы $S = C_{11}^0 + C_{11}^1 + C_{11}^2 + \dots + C_{11}^{11}$.

Для нахождения этой суммы воспользуемся свойством биномиальных коэффициентов. Если в формулу бинома Ньютона подставить значения $x=1$ и $y=1$, то левая часть равенства примет вид:
$(1+1)^n = 2^n$.
Правая часть равенства примет вид:
$C_n^0 (1)^{n-0}(1)^0 + C_n^1 (1)^{n-1}(1)^1 + \dots + C_n^n (1)^{0}(1)^n = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$.
Таким образом, мы получаем тождество, связывающее сумму биномиальных коэффициентов со степенью двойки:
$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

В нашем случае показатель степени бинома $n=11$. Следовательно, искомая сумма коэффициентов равна $2^{11}$.
Вычислим это значение:
$2^{11} = 2^{10} \cdot 2 = 1024 \cdot 2 = 2048$.

Ответ: 2048

11.4. Докажите тождество:

1) $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} C_{n}^{k}=0$;

2) $\sum_{k=0}^{n} k C_{n}^{k}=n \cdot 2^{n-1}$;

3) $\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1} k C_{n}^{k}=0.$

1) Докажем тождество $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$.
Воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
Подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=-1$:
$(1 + (-1))^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k$
Левая часть равенства: $(1-1)^n = 0^n$.
Правая часть равенства: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot 1 \cdot (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k$.
Таким образом, мы получаем: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0^n$.
Это равенство справедливо для всех натуральных $n \ge 1$, так как $0^n = 0$ для $n \ge 1$.
При $n=0$ сумма равна $\sum_{k=0}^{0} (-1)^k C_0^k = (-1)^0 C_0^0 = 1 \cdot 1 = 1$, что не равно 0. Тождество обычно рассматривается для $n \ge 1$.
Итак, для $n \ge 1$ тождество доказано.
Ответ: Тождество доказывается с помощью формулы бинома Ньютона при подстановке $a=1$ и $b=-1$, что приводит к выражению $(1-1)^n = 0$.

2) Докажем тождество $\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.
Рассмотрим два способа доказательства.
Способ 1: Использование производной.
Запишем разложение бинома Ньютона для $(1+x)^n$:
$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.
Продифференцируем обе части этого равенства по переменной $x$:
$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx}(\sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k)$
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot k x^{k-1}$.
Заметим, что при $k=0$ слагаемое в сумме равно нулю, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:
$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k x^{k-1}$.
Теперь подставим в это равенство значение $x=1$:
$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k (1)^{k-1}$
$n \cdot 2^{n-1} = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k$.
Поскольку при $k=0$ слагаемое $kC_n^k = 0 \cdot C_n^0 = 0$, мы можем добавить его в сумму, не изменяя её значения, и начать суммирование с $k=0$:
$\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.
Способ 2: Использование комбинаторного тождества.
Используем тождество $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ для $k \ge 1$. Докажем его:
$kC_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = k \cdot \frac{n!}{k(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.
$nC_{n-1}^{k-1} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.
Тождество $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ доказано.
Теперь преобразуем исходную сумму (заметим, что член для $k=0$ равен нулю):
$\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} nC_{n-1}^{k-1}$.
Вынесем $n$ за знак суммы:
$n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$.
Сделаем замену индекса суммирования: $j = k-1$. Тогда при $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$.
$n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$.
Сумма $\sum_{j=0}^{m} C_m^j$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $m$, и она равна $2^m$. В нашем случае $m=n-1$, поэтому:
$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}$.
Подставляя это значение, получаем итоговый результат: $n \cdot 2^{n-1}$.
Ответ: Тождество доказывается либо дифференцированием бинома Ньютона $(1+x)^n$ с последующей подстановкой $x=1$, либо с помощью комбинаторного тождества $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$.

3) Докажем тождество $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = 0$.
Как и в пункте 2), воспользуемся тождеством $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$, которое справедливо для $k \ge 1$.
Преобразуем исходную сумму:
$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} nC_{n-1}^{k-1}$.
Вынесем константу $n$ за знак суммы:
$n \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} C_{n-1}^{k-1}$.
Сделаем замену индекса суммирования: $j = k-1$. При $k=1$ будет $j=0$, при $k=n$ будет $j=n-1$.
$n \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.
Из тождества, доказанного в пункте 1), мы знаем, что знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов $\sum_{j=0}^{m} (-1)^j C_m^j = 0$ при $m \ge 1$.
В нашем случае $m = n-1$. Таким образом, сумма равна нулю, если $n-1 \ge 1$, то есть при $n \ge 2$.
При $n \ge 2$ выражение принимает вид: $n \cdot 0 = 0$.
Проверим случай $n=1$:
$\sum_{k=1}^{1} (-1)^{k-1} kC_1^k = (-1)^{1-1} \cdot 1 \cdot C_1^1 = (-1)^0 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
Результат равен 1, а не 0. Следовательно, данное тождество справедливо только для $n \ge 2$.
Ответ: Тождество доказывается с помощью свойства $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$ и результата из пункта 1), и оно справедливо для всех натуральных $n \ge 2$.

11.5. Найдите $n$ в разложении бинома $(3+\frac{1}{\sqrt{2}})^n$, если отношение четвертого слагаемого разложения к третьему равно $3\sqrt{2}$.

11.5. Для нахождения n воспользуемся формулой бинома Ньютона. Общий член разложения бинома $(a+b)^n$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент, а $k$ - номер слагаемого, начиная с 0.

В нашем случае $a=3$ и $b=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Третье слагаемое разложения ($T_3$) соответствует $k=2$. Запишем его:

$T_3 = T_{2+1} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{n(n-1)}{2!} \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n(n-1)}{4} \cdot 3^{n-2}$.

Четвертое слагаемое разложения ($T_4$) соответствует $k=3$. Запишем его:

$T_4 = T_{3+1} = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{n(n-1)(n-2)}{12\sqrt{2}} \cdot 3^{n-3}$.

По условию задачи, отношение четвертого слагаемого к третьему равно $3\sqrt{2}$:

$\frac{T_4}{T_3} = 3\sqrt{2}$.

Подставим полученные выражения для $T_4$ и $T_3$ в это отношение:

$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{12\sqrt{2}} \cdot 3^{n-3}}{\frac{n(n-1)}{4} \cdot 3^{n-2}} = 3\sqrt{2}$.

Упростим левую часть уравнения. Сократим общие множители $n(n-1)$ (поскольку для существования 4-го члена $n \ge 3$), а также степени числа 3 и числовые коэффициенты:

$\frac{n-2}{1} \cdot \frac{4}{12\sqrt{2}} \cdot \frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} = 3\sqrt{2}$.

$(n-2) \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot 3^{-1} = 3\sqrt{2}$.

$(n-2) \cdot \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3} = 3\sqrt{2}$.

$\frac{n-2}{9\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $n$:

$n-2 = 3\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$.

$n-2 = 27 \cdot (\sqrt{2})^2$.

$n-2 = 27 \cdot 2$.

$n-2 = 54$.

$n = 54 + 2$.

$n = 56$.

Ответ: $n=56$.

11.6. Найдите коэффициент при $x^3$ у многочлена $P(x):$

1) $P(x)=4x^3+(1+3x)^4;$
2) $P(x)=(3-2x)^5+2x^3+5;$
3) $P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4;$
4) $P(x)=(x+2)^5+(1-2x)^4-2x^3.$

1) Для многочлена $P(x)=4x^3 + (1+3x)^4$ коэффициент при $x^3$ является суммой коэффициентов при $x^3$ в каждом из слагаемых.
В слагаемом $4x^3$ коэффициент при $x^3$ равен $4$.
Для нахождения коэффициента при $x^3$ в слагаемом $(1+3x)^4$ воспользуемся формулой бинома Ньютона: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.
В данном случае $a=1$, $b=3x$, и $n=4$. Нам нужен член разложения, содержащий $x^3$, что соответствует $k=3$.
Этот член равен $C_4^3 a^{4-3} b^3 = C_4^3 \cdot 1^1 \cdot (3x)^3 = C_4^3 \cdot 27x^3$.
Вычислим биномиальный коэффициент $C_4^3$:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ во втором слагаемом равен $C_4^3 \cdot 27 = 4 \cdot 27 = 108$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме коэффициентов: $4 + 108 = 112$.
Ответ: 112.

2) Для многочлена $P(x)=(3-2x)^5 + 2x^3 + 5$ коэффициент при $x^3$ равен сумме коэффициентов при $x^3$ в каждом из слагаемых.
В слагаемом $2x^3$ коэффициент при $x^3$ равен $2$.
В слагаемом $5$ (свободный член) коэффициент при $x^3$ равен $0$.
Для нахождения коэффициента при $x^3$ в слагаемом $(3-2x)^5$ используем формулу бинома Ньютона с параметрами $a=3$, $b=-2x$, и $n=5$. Нам нужен член разложения с $x^3$, что соответствует $k=3$.
Этот член равен $C_5^3 a^{5-3} b^3 = C_5^3 \cdot 3^2 \cdot (-2x)^3 = C_5^3 \cdot 9 \cdot (-8)x^3 = -72 \cdot C_5^3 x^3$.
Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^3$:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.
Коэффициент при $x^3$ в первом слагаемом равен $10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$.
Итоговый коэффициент при $x^3$ в многочлене $P(x)$ равен сумме коэффициентов: $-720 + 2 + 0 = -718$.
Ответ: -718.

3) В многочлене $P(x)=(x+2)^5 - (2x+1)^4$ коэффициент при $x^3$ равен разности коэффициентов при $x^3$ в уменьшаемом и вычитаемом.
Сначала найдем коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$. По формуле бинома Ньютона ($a=x, b=2, n=5$), член с $x^3$ получается, когда степень $x$ равна 3. Это соответствует члену $C_5^k a^{5-k} b^k$, где $5-k=3$, то есть $k=2$.
Член равен $C_5^2 x^3 \cdot 2^2 = 4 C_5^2 x^3$.
Вычислим $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$ равен $10 \cdot 4 = 40$.
Теперь найдем коэффициент при $x^3$ в $(2x+1)^4$. По формуле бинома Ньютона ($a=2x, b=1, n=4$), член с $x^3$ получается, когда степень $x$ равна 3. Это соответствует члену $C_4^k a^{4-k} b^k$, где степень $(2x)$ равна $3$, то есть $4-k=3$, откуда $k=1$.
Член равен $C_4^1 (2x)^3 \cdot 1^1 = C_4^1 \cdot 8x^3$.
Вычислим $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ в $(2x+1)^4$ равен $4 \cdot 8 = 32$.
Искомый коэффициент равен разности найденных коэффициентов: $40 - 32 = 8$.
Ответ: 8.

4) Для многочлена $P(x)=(x+2)^5 + (1-2x)^4 - 2x^3$ искомый коэффициент является алгебраической суммой коэффициентов при $x^3$ в каждом из членов.
Коэффициент при $x^3$ в члене $-2x^3$ равен $-2$.
Коэффициент при $x^3$ в $(x+2)^5$ был найден в предыдущем пункте и равен $40$.
Найдем коэффициент при $x^3$ в $(1-2x)^4$. По формуле бинома Ньютона ($a=1, b=-2x, n=4$), член с $x^3$ соответствует $k=3$.
Член равен $C_4^3 \cdot 1^{4-3} \cdot (-2x)^3 = C_4^3 \cdot 1 \cdot (-8)x^3 = -8 C_4^3 x^3$.
Вычислим $C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.
Коэффициент при $x^3$ в $(1-2x)^4$ равен $4 \cdot (-8) = -32$.
Итоговый коэффициент равен сумме всех коэффициентов: $40 + (-32) - 2 = 40 - 32 - 2 = 8 - 2 = 6$.
Ответ: 6.

11.7. Найдите наибольший коэффициент в разложении $ (x + y)^n $, если значение суммы биномиальных коэффициентов в разложении равно:

1) 1024;

2) 512.

Разложение бинома $(x+y)^n$ по формуле бинома Ньютона имеет вид:

$(x+y)^n = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + C_n^2 x^{n-2} y^2 + \dots + C_n^n x^0 y^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты.

Сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении находится, если положить $x=1$ и $y=1$:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = (1+1)^n = 2^n$.

Наибольший коэффициент в разложении соответствует среднему члену (или двум средним членам). Если $n$ — четное, то наибольший коэффициент один: $C_n^{n/2}$. Если $n$ — нечетное, то наибольших коэффициентов два, и они равны: $C_n^{(n-1)/2} = C_n^{(n+1)/2}$.

1)

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 1024. Найдем показатель степени $n$:

$2^n = 1024$

$2^n = 2^{10}$

$n = 10$

Поскольку $n=10$ — четное число, наибольший коэффициент в разложении будет $C_{10}^{10/2} = C_{10}^5$. Вычислим его:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{30240}{120} = 252$.

Ответ: 252

2)

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 512. Найдем показатель степени $n$:

$2^n = 512$

$2^n = 2^9$

$n = 9$

Поскольку $n=9$ — нечетное число, в разложении будет два равных наибольших коэффициента: $C_9^{(9-1)/2} = C_9^4$ и $C_9^{(9+1)/2} = C_9^5$. Вычислим значение одного из них, например, $C_9^4$:

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3024}{24} = 126$.

Ответ: 126

11.8. В разложении бинома $(x + \frac{1}{x})^{10}$ по степеням $x$ найдите одночлен:

1) содержащий $x^3$;

2) содержащий $x^4$;

3) содержащий $x^{-2}$;

4) содержащий $x$.

Для нахождения конкретного члена в разложении бинома $(x + \frac{1}{x})^{10}$ используется формула общего члена разложения бинома Ньютона $(a+b)^n$: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$. В данном случае $a=x$, $b=\frac{1}{x}=x^{-1}$ и $n=10$.

Общий член разложения $T_{k+1}$ для данного бинома имеет вид:$T_{k+1} = C_{10}^k (x)^{10-k} (\frac{1}{x})^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$, где $k$ — целое число от 0 до 10.

1) содержащий $x^3$
Чтобы найти одночлен, содержащий $x^3$, необходимо найти такое целое значение $k$, при котором показатель степени $x$ равен 3.
$10 - 2k = 3$
$2k = 10 - 3$
$2k = 7$
$k = 3.5$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x^3$.
Ответ: такого одночлена нет.

2) содержащий $x^4$
Найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен 4:
$10 - 2k = 4$
$2k = 10 - 4$
$2k = 6$
$k = 3$
Значение $k=3$ является целым и находится в пределах от 0 до 10. Следовательно, такой член существует. Это будет $T_{3+1} = T_4$.
Найдем его, подставив $k=3$ в формулу общего члена:
$T_4 = C_{10}^3 x^{10-2 \cdot 3} = C_{10}^3 x^4$
Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
Таким образом, искомый одночлен равен $120x^4$.
Ответ: $120x^4$.

3) содержащий $x^{-2}$
Найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен -2:
$10 - 2k = -2$
$2k = 10 + 2$
$2k = 12$
$k = 6$
Значение $k=6$ является целым и находится в пределах от 0 до 10. Такой член существует. Это будет $T_{6+1} = T_7$.
Найдем его, подставив $k=6$ в формулу общего члена:
$T_7 = C_{10}^6 x^{10-2 \cdot 6} = C_{10}^6 x^{-2}$
Вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^6$. Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$
Таким образом, искомый одночлен равен $210x^{-2}$.
Ответ: $210x^{-2}$.

4) содержащий $x$
Чтобы найти одночлен, содержащий $x$ (то есть $x^1$), найдем $k$, при котором показатель степени $x$ равен 1.
$10 - 2k = 1$
$2k = 10 - 1$
$2k = 9$
$k = 4.5$
Поскольку $k$ должно быть целым числом, в разложении данного бинома нет члена, содержащего $x$.
Ответ: такого одночлена нет.

11.9.1) Значение суммы биномиальных коэффициентов разложения бинома $(2na + \frac{1}{2na^2})^{3n}$ равно 64. Найдите слагаемое, не содержащее $a$.

2) Седьмое слагаемое разложения бинома $(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n$ не зависит от $a$. Найдите $n$.

1)

Сначала найдем значение $n$. Сумма биномиальных коэффициентов в разложении бинома $(x+y)^m$ равна $2^m$. В нашем случае бином имеет вид $(2na + \frac{1}{2na^2})^{3n}$, следовательно, его степень $m = 3n$.

По условию, сумма биномиальных коэффициентов равна 64. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$2^{3n} = 64$

Поскольку $64 = 2^6$, получаем:

$2^{3n} = 2^6$

$3n = 6$

$n = 2$

Теперь, когда мы нашли $n$, подставим его значение в исходное выражение. Степень бинома равна $3n = 3 \cdot 2 = 6$. Сам бином будет:

$(2 \cdot 2 \cdot a + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot a^2})^6 = (4a + \frac{1}{4a^2})^6$

Для нахождения слагаемого, не содержащего $a$, воспользуемся формулой общего члена разложения бинома Ньютона $T_{k+1} = C_m^k x^{m-k} y^k$.

В нашем случае $m=6$, $x=4a$, $y=\frac{1}{4a^2}$. Общий член разложения имеет вид:

$T_{k+1} = C_6^k (4a)^{6-k} (\frac{1}{4a^2})^k = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot \frac{1}{4^k \cdot a^{2k}} = C_6^k \cdot 4^{6-k-k} \cdot a^{6-k-2k} = C_6^k \cdot 4^{6-2k} \cdot a^{6-3k}$

Слагаемое не содержит $a$, если степень $a$ равна нулю. Приравняем показатель степени $a$ к нулю и найдем $k$:

$6-3k = 0$

$3k = 6$

$k = 2$

Теперь найдем само слагаемое, подставив $k=2$ в формулу общего члена:

$T_{2+1} = T_3 = C_6^2 \cdot 4^{6-2 \cdot 2} \cdot a^{6-3 \cdot 2} = C_6^2 \cdot 4^{2} \cdot a^0 = C_6^2 \cdot 16$

Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

Тогда искомое слагаемое равно:

$15 \cdot 16 = 240$

Ответ: 240

2)

Запишем разложение бинома $(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n$ в общем виде по формуле бинома Ньютона:

$(\sqrt[3]{a} + \frac{1}{a})^n = (a^{\frac{1}{3}} + a^{-1})^n$

Формула для $(k+1)$-го члена разложения:

$T_{k+1} = C_n^k (a^{\frac{1}{3}})^{n-k} (a^{-1})^k$

Нам дан седьмой член разложения, значит $k+1 = 7$, откуда $k=6$. Подставим $k=6$ в формулу:

$T_7 = C_n^6 (a^{\frac{1}{3}})^{n-6} (a^{-1})^6 = C_n^6 a^{\frac{n-6}{3}} a^{-6} = C_n^6 a^{\frac{n-6}{3} - 6}$

По условию, седьмое слагаемое не зависит от $a$. Это означает, что показатель степени у $a$ должен быть равен нулю.

$\frac{n-6}{3} - 6 = 0$

Решим это уравнение относительно $n$:

$\frac{n-6}{3} = 6$

$n-6 = 18$

$n = 18 + 6$

$n = 24$

При этом должно выполняться условие $n \ge k$, то есть $24 \ge 6$, что верно.

Ответ: 24

11.10. Докажите, что верно равенство:

1) $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1};$

2) $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}.$

1)

Для доказательства равенства $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$ воспользуемся комбинаторным тождеством и свойствами биномиальных коэффициентов.

Левую часть равенства можно записать в виде суммы:

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k$

Используем формулу для биномиального коэффициента $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Преобразуем общий член суммы:

$k \cdot C_n^k = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = k \cdot \frac{n!}{k \cdot (k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$

Вынесем $n$ из числителя $n! = n \cdot (n-1)!$ и перегруппируем знаменатель $n-k = (n-1) - (k-1)$:

$\frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}$

Выражение $\frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}$ по определению является биномиальным коэффициентом $C_{n-1}^{k-1}$.

Таким образом, мы получили тождество: $k \cdot C_n^k = n \cdot C_{n-1}^{k-1}$.

Подставим это тождество в нашу исходную сумму:

$S = \sum_{k=1}^{n} n \cdot C_{n-1}^{k-1}$

Вынесем константу $n$ за знак суммы:

$S = n \cdot \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$

Сделаем замену переменной суммирования $j=k-1$. Когда $k=1$, $j=0$. Когда $k=n$, $j=n-1$. Сумма примет вид:

$S = n \cdot \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$

Сумма $\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \dots + C_{n-1}^{n-1}$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $n-1$. Из формулы бинома Ньютона известно, что эта сумма равна $2^{n-1}$.

$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = 2^{n-1}$

Подставляя это значение, получаем:

$S = n \cdot 2^{n-1}$

Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.

Ответ: $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$.

2)

Для доказательства равенства $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$ преобразуем его левую часть.

Запишем левую часть в виде суммы:

$S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) \cdot C_n^k$

Разобьем эту сумму на две:

$S = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k + \sum_{k=0}^{n} 1 \cdot C_n^k$

Рассмотрим каждую сумму по отдельности.

Первая сумма: $\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k$. При $k=0$ первое слагаемое равно $0 \cdot C_n^0 = 0$, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = \sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k = C_n^1 + 2C_n^2 + \dots + nC_n^n$

Эта сумма является левой частью равенства из пункта 1), которое мы уже доказали. Следовательно:

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$

Вторая сумма: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$

Это сумма всех биномиальных коэффициентов для степени $n$. Из формулы бинома Ньютона следует, что эта сумма равна $2^n$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$

Теперь сложим результаты для обеих сумм:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2^n$

Преобразуем полученное выражение. Заметим, что $2^n = 2 \cdot 2^{n-1}$:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1}$

Вынесем общий множитель $2^{n-1}$ за скобки:

$S = (n+2) \cdot 2^{n-1}$

Мы получили правую часть исходного равенства. Что и требовалось доказать.

Ответ: $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.

1. Отношение ординаты точки на окружности к ее абсциссе называется:

А) синусом угла;

В) косинусом угла;

С) тангенсом угла;

D) котангенсом угла.

1. Для решения этой задачи давайте вспомним определения тригонометрических функций через координаты точки на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность с радиусом, равным 1, и центром в начале координат $(0, 0)$.

Пусть у нас есть точка $P$ на этой окружности с координатами $(x, y)$. Эта точка соответствует некоторому углу $\alpha$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси $Ox$.

В координатной плоскости:

• Координата $x$ точки называется ее абсциссой.
• Координата $y$ точки называется ее ординатой.

Основные тригонометрические функции определяются через эти координаты следующим образом:

• Синус угла $\alpha$ — это отношение ординаты точки к радиусу окружности. Для единичной окружности (где радиус $r=1$) это просто ордината точки: $\sin(\alpha) = \frac{y}{r} = \frac{y}{1} = y$.
• Косинус угла $\alpha$ — это отношение абсциссы точки к радиусу окружности. Для единичной окружности это просто абсцисса точки: $\cos(\alpha) = \frac{x}{r} = \frac{x}{1} = x$.

В вопросе нас просят определить, как называется отношение ординаты точки к ее абсциссе. Запишем это отношение, используя обозначения координат:

$\frac{\text{ордината}}{\text{абсцисса}} = \frac{y}{x}$

Теперь заменим $y$ и $x$ на их тригонометрические эквиваленты:

$\frac{y}{x} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

По определению, отношение синуса угла к косинусу того же угла называется тангенсом угла:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Следовательно, отношение ординаты точки на окружности к ее абсциссе называется тангенсом угла. Сравним это с предложенными вариантами:

А) синусом угла – неверно, синус - это ордината $y$.

В) косинусом угла – неверно, косинус - это абсцисса $x$.

C) тангенсом угла – верно, тангенс - это отношение ординаты к абсциссе $\frac{y}{x}$.

D) котангенсом угла – неверно, котангенс - это отношение абсциссы к ординате $\frac{x}{y}$.

Ответ: C) тангенсом угла.

2. В какой четверти расположен угол в $75^\circ$:

A) I;

B) II;

C) III;

D) IV?

Для того чтобы определить, в какой четверти находится угол, необходимо сопоставить его величину с границами четвертей на тригонометрической окружности. Отсчет углов традиционно ведется от положительного направления оси абсцисс (оси Ox) против часовой стрелки.

Координатная плоскость разделена на четыре четверти следующими диапазонами углов:

I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$)
II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$ ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$)
III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$ ($180^\circ < \alpha < 270^\circ$)
IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$ ($270^\circ < \alpha < 360^\circ$)

В задаче дан угол, равный $75^\circ$. Проверим, в какой из диапазонов попадает это значение.

Так как $0^\circ < 75^\circ < 90^\circ$, угол в $75^\circ$ находится в первой четверти.

Ответ: A) I.

3. Найдите значение $\cos 30^\circ$:

A) $\frac{1}{2}$;

B) 1;

C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

D) $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

3. Чтобы найти значение $\cos(30^\circ)$, можно воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным, но его можно легко вывести.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Пусть один из его острых углов равен $30^\circ$. Тогда второй острый угол будет равен $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как $c$, а катет напротив угла $30^\circ$ как $b$. Тогда $b = \frac{c}{2}$.

Найдем второй катет $a$, который является прилежащим к углу $30^\circ$, используя теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$a^2 + (\frac{c}{2})^2 = c^2$

$a^2 + \frac{c^2}{4} = c^2$

$a^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} = \frac{3c^2}{4}$

$a = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$

По определению, косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для нашего угла в $30^\circ$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Подставим найденное выражение для катета $a$:

$\cos(30^\circ) = \frac{\frac{c\sqrt{3}}{2}}{c} = \frac{c\sqrt{3}}{2c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту C). Для справки: вариант A) $\frac{1}{2}$ — это значение $\sin(30^\circ)$ или $\cos(60^\circ)$; вариант B) $1$ — это значение $\cos(0^\circ)$; вариант D) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — это значение $\tan(30^\circ)$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Поворотом на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол $80^\circ$:

A) $180^\circ$;

B) $440^\circ$;

C) $380^\circ$;

D) $120^\circ$?

Чтобы радиус занял такое же положение, что и при повороте на угол 80°, новый угол поворота должен отличаться от 80° на целое число полных оборотов. Один полный оборот составляет 360°.

Общая формула для углов, которые приводят к одинаковому положению, выглядит так: $\alpha_{new} = \alpha_{initial} + 360° \cdot k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае, $\alpha_{initial} = 80°$. Мы должны проверить каждый из предложенных вариантов, чтобы найти тот, для которого разница с 80° будет кратна 360°.

A) 180°
Вычислим разницу: $180° - 80° = 100°$.
Поскольку $100°$ не делится нацело на $360°$ ($100/360 = 5/18$, что не является целым числом), этот угол не соответствует тому же положению.
Ответ: не подходит.

B) 440°
Вычислим разницу: $440° - 80° = 360°$.
Поскольку $360°$ делится нацело на $360°$ ($360/360 = 1$, что является целым числом), поворот на $440°$ приведет радиус в то же самое положение, что и поворот на $80°$. Это соответствует одному полному обороту плюс $80°$.
Ответ: подходит.

C) 380°
Вычислим разницу: $380° - 80° = 300°$.
Поскольку $300°$ не делится нацело на $360°$ ($300/360 = 5/6$, что не является целым числом), этот угол не соответствует тому же положению.
Ответ: не подходит.

D) 120°
Вычислим разницу: $120° - 80° = 40°$.
Поскольку $40°$ не делится нацело на $360°$ ($40/360 = 1/9$, что не является целым числом), этот угол не соответствует тому же положению.
Ответ: не подходит.

Таким образом, единственный подходящий вариант — это 440°.
Ответ: B) 440°.

5. Найдите значение выражения $4\cos 90^\circ - 8\sin 60^\circ$:

A) $-4\sqrt{3}$;

B) $4 - 4\sqrt{3}$;

C) $0$;

D) $-4$.

Для решения данной задачи необходимо найти значение выражения $4\cos 90^\circ - 8\sin 60^\circ$.

Решение можно разбить на несколько шагов:

1. Определение значений тригонометрических функций.

Сначала найдем значения для $\cos 90^\circ$ и $\sin 60^\circ$. Это стандартные табличные значения:

Значение косинуса угла $90^\circ$ равно 0. То есть, $\cos 90^\circ = 0$.

Значение синуса угла $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. То есть, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Подстановка значений в выражение.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение $4\cos 90^\circ - 8\sin 60^\circ$:

$4 \cdot (0) - 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

3. Вычисление результата.

Выполним арифметические действия:

Первый член выражения: $4 \cdot 0 = 0$.

Второй член выражения: $8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.

Теперь вычтем второй член из первого:

$0 - 4\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$.

Полученное значение равно $-4\sqrt{3}$. Сравнивая результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту A).

Ответ: $-4\sqrt{3}$.

6. Среди чисел найдите число, которое меньше нуля:

A) $ \sin 140^\circ $;

B) $ \cos 140^\circ $;

C) $ \sin 50^\circ $;

D) $ \cos 50^\circ $.

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел меньше нуля, необходимо проанализировать знаки тригонометрических функций в соответствующих координатных четвертях. Знак синуса и косинуса зависит от угла.

Вспомним знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности:
- I четверть (углы от $0^\circ$ до $90^\circ$): и синус, и косинус положительны ($\sin(x)>0, \cos(x)>0$).
- II четверть (углы от $90^\circ$ до $180^\circ$): синус положителен, а косинус отрицателен ($\sin(x)>0, \cos(x)<0$).
- III четверть (углы от $180^\circ$ до $270^\circ$): и синус, и косинус отрицательны ($\sin(x)<0, \cos(x)<0$).
- IV четверть (углы от $270^\circ$ до $360^\circ$): синус отрицателен, а косинус положителен ($\sin(x)<0, \cos(x)>0$).

Теперь проанализируем каждый вариант:

A) $\sin(140^\circ)$. Угол $140^\circ$ находится во второй четверти, так как $90^\circ < 140^\circ < 180^\circ$. В этой четверти синус положителен. Следовательно, $\sin(140^\circ) > 0$.

B) $\cos(140^\circ)$. Угол $140^\circ$ также находится во второй четверти. В этой четверти косинус отрицателен. Следовательно, $\cos(140^\circ) < 0$.

C) $\sin(50^\circ)$. Угол $50^\circ$ находится в первой четверти, так как $0^\circ < 50^\circ < 90^\circ$. В этой четверти синус положителен. Следовательно, $\sin(50^\circ) > 0$.

D) $\cos(50^\circ)$. Угол $50^\circ$ также находится в первой четверти. В этой четверти косинус положителен. Следовательно, $\cos(50^\circ) > 0$.

Таким образом, единственное число из предложенных, которое меньше нуля, это $\cos(140^\circ)$.

Ответ: B

7. Найдите значение cos(-30°):

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $-\frac{1}{2}$;

D) $\frac{1}{2}$.

Чтобы найти значение выражения $cos(-30^\circ)$, воспользуемся свойством четности функции косинус.

Функция косинус является четной, это означает, что для любого угла $\alpha$ выполняется равенство:$cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Применим это свойство для нашего случая, где $\alpha = 30^\circ$:$cos(-30^\circ) = cos(30^\circ)$.

Значение косинуса $30^\circ$ является стандартным табличным значением в тригонометрии. Оно равно:$cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $cos(-30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

8. Углом какой четверти является угол $\alpha$, если $\sin\alpha < 0$, $\cos\alpha > 0$:

A) I;

B) II;

C) III;

D) IV?

8. Дано:

$ \sin \alpha < 0 $

$ \cos \alpha > 0 $

Найти:

Четверть, к которой принадлежит угол $ \alpha $.

Решение:

Для определения четверти, в которой находится угол $ \alpha $, необходимо проанализировать знаки его синуса и косинуса. Вспомним, как распределяются знаки тригонометрических функций по координатным четвертям на единичной окружности, где косинус соответствует координате по оси X, а синус — по оси Y.

1. I четверть (углы от 0° до 90°): координата X положительна, координата Y положительна. Следовательно, $ \cos \alpha > 0 $ и $ \sin \alpha > 0 $.

2. II четверть (углы от 90° до 180°): координата X отрицательна, координата Y положительна. Следовательно, $ \cos \alpha < 0 $ и $ \sin \alpha > 0 $.

3. III четверть (углы от 180° до 270°): координата X отрицательна, координата Y отрицательна. Следовательно, $ \cos \alpha < 0 $ и $ \sin \alpha < 0 $.

4. IV четверть (углы от 270° до 360°): координата X положительна, координата Y отрицательна. Следовательно, $ \cos \alpha > 0 $ и $ \sin \alpha < 0 $.

По условию задачи, нам даны два неравенства: $ \sin \alpha < 0 $ (синус отрицателен) и $ \cos \alpha > 0 $ (косинус положителен).

Сравнивая эти условия со знаками в четвертях, мы видим, что единственная четверть, где синус отрицателен, а косинус положителен, — это IV четверть.

Следовательно, угол $ \alpha $ является углом IV четверти.

Ответ: D) IV.

9. Найдите значение $ \sin 390^\circ $:

A) $ \frac{\sqrt{3}}{2} $;

B) $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $;

C) $ -\frac{1}{2} $;

D) $ \frac{1}{2} $.

Для нахождения значения $\sin(390^\circ)$ используется свойство периодичности функции синус. Период синуса составляет $360^\circ$, что означает, что значения функции повторяются через каждый полный оборот. Математически это свойство записывается в виде формулы: $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — любое целое число.

Представим угол $390^\circ$ в виде суммы, где одно из слагаемых кратно $360^\circ$:

$390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$

В данном случае $k=1$. Теперь мы можем применить формулу периодичности:

$\sin(390^\circ) = \sin(360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$

Значение $\sin(30^\circ)$ является известным табличным значением для тригонометрических функций:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Следовательно, значение выражения $\sin(390^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы выбираем вариант D.

Ответ: D) $\frac{1}{2}$.

10. Какое из выражений не имеет смысла:

A) $ \cos 0^\circ $;

B) $ \operatorname{tg} 0^\circ $;

C) $ \operatorname{ctg} 0^\circ $;

D) $ \operatorname{ctg} 90^\circ $?

Чтобы определить, какое из предложенных выражений не имеет смысла, нужно проанализировать область определения каждой тригонометрической функции для указанного аргумента. Выражение не имеет смысла (не определено), если в его записи встречается деление на ноль.

A) cos0°

Функция косинус $y = cos(x)$ определена для любого действительного значения $x$. Значение косинуса для угла 0° равно 1. Таким образом, выражение $cos(0°) = 1$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

B) tg0°

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$. Выражение не определено, когда его знаменатель $cos(x)$ равен нулю. Это происходит при $x = 90° + 180°n$, где $n$ — любое целое число. Для угла 0°, $cos(0°) = 1$, что не равно нулю. Следовательно, $tg(0°) = \frac{sin(0°)}{cos(0°)} = \frac{0}{1} = 0$. Выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

C) ctg0°

Котангенс определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$. Выражение не определено, когда его знаменатель $sin(x)$ равен нулю. Это происходит при $x = 180°n$, где $n$ — любое целое число. Угол 0° соответствует этому условию при $n = 0$. Поскольку $sin(0°) = 0$, то вычисление $ctg(0°)$ требует деления на ноль: $ctg(0°) = \frac{cos(0°)}{sin(0°)} = \frac{1}{0}$. Деление на ноль является неопределенной операцией.

Ответ: не имеет смысла.

D) ctg90°

Рассмотрим котангенс угла 90°. Знаменатель в определении котангенса $ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$ при $x=90°$ равен $sin(90°) = 1$, что не равно нулю. Следовательно, $ctg(90°) = \frac{cos(90°)}{sin(90°)} = \frac{0}{1} = 0$. Выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

Из всех рассмотренных выражений только $ctg(0°)$ не имеет смысла.

11. Выразите в градусах угол $ \frac{3\pi}{4} $:

A) $30^\circ$;

B) $135^\circ$;

C) $\frac{3}{4}$;

D) $45^\circ$.

Для перевода величины угла из радианной меры в градусную используется основное соотношение: $\pi$ радиан = $180^\circ$.

Чтобы найти градусную меру угла, заданного в радианах, необходимо его значение умножить на $\frac{180^\circ}{\pi}$.

В нашем случае дан угол $\frac{3\pi}{4}$ радиан. Выполним преобразование:

$\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе дробей:

$\frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180^\circ}{4}$

Теперь вычислим значение выражения. Можно сначала разделить $180$ на $4$, а затем результат умножить на $3$.

$180^\circ \div 4 = 45^\circ$

Далее умножим полученное значение на $3$:

$3 \times 45^\circ = 135^\circ$

Таким образом, угол $\frac{3\pi}{4}$ равен $135^\circ$. Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) 135°.

12. Выразите в радианах угол 200°:

A) $\frac{7\pi}{9}$;

B) $\frac{10\pi}{9}$;

C) $200\pi$;

D) $2\pi$.

Для того чтобы перевести градусную меру угла в радианную, используется основное соотношение, связывающее градусы и радианы: $180^\circ = \pi$ радиан. Из этого соотношения следует, что $1^\circ$ равен $\frac{\pi}{180}$ радиан.
Чтобы выразить угол в $200^\circ$ в радианах, необходимо умножить значение угла в градусах на коэффициент $\frac{\pi}{180}$:
$200^\circ = 200 \cdot \frac{\pi}{180}$ рад.
Теперь необходимо упростить полученное выражение. Сократим дробь $\frac{200}{180}$. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{200\pi}{180} = \frac{20\pi}{18}$
Далее, сократим получившуюся дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{20\pi}{18} = \frac{10\pi}{9}$
Таким образом, угол $200^\circ$ в радианной мере равен $\frac{10\pi}{9}$.
Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B).
Ответ: B) $\frac{10\pi}{9}$.

13. В какой четверти расположен угол $ \frac{10\pi}{9} $:

A) I;

B) II;

C) III;

D) IV?

Дано:

Угол $\alpha = \frac{10\pi}{9}$

Найти:

Координатную четверть, в которой расположен данный угол.

Решение:

Для определения, в какой координатной четверти находится угол, заданный в радианах, можно перевести его в градусы или сравнить с границами четвертей, выраженными в радианах.

Способ 1: Перевод в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, используем соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$.

$\alpha = \frac{10\pi}{9} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{9}$

Сократим 180 и 9, получим 20:

$\alpha = 10 \cdot 20^\circ = 200^\circ$

Теперь вспомним границы координатных четвертей в градусах:

I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$

II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$

III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$

IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$

Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, то угол $200^\circ$ расположен в III четверти.

Способ 2: Сравнение в радианах

Границы четвертей в радианах:

I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$

II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$

III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$

IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Сравним наш угол $\frac{10\pi}{9}$ с границами III четверти.

Сравнение с $\pi$: $\frac{10\pi}{9} = \pi + \frac{\pi}{9}$. Очевидно, что $\pi + \frac{\pi}{9} > \pi$.

Сравнение с $\frac{3\pi}{2}$: Приведем дроби к общему знаменателю 18.

$\frac{10\pi}{9} = \frac{10\pi \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20\pi}{18}$

$\frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{27\pi}{18}$

Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{27\pi}{18}$, то $\frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство: $\pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол находится в III четверти.

Ответ: C) III.

14. Упростите $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $:

A) $ \sin\alpha $;

B) $ \cos\alpha $;

C) $ -\sin\alpha $;

D) $ -\cos\alpha $.

Для упрощения данного тригонометрического выражения можно воспользоваться формулами приведения или формулой синуса суммы.

Способ 1: Использование формулы синуса суммы

Формула синуса суммы имеет вид: $ \sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha) $

Известно, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Подставим эти числовые значения в выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = \cos(\alpha) + 0 = \cos(\alpha) $

Способ 2: Использование мнемонического правила для формул приведения

1. Определение знака. Будем считать угол $ \alpha $ острым. Тогда угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II координатной четверти. Исходная функция — синус. Синус во II четверти имеет знак «+».

2. Определение функции. В выражении присутствует угол $ \frac{\pi}{2} $. Если в формуле приведения используется угол $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (то есть угол на вертикальной оси единичной окружности), то название функции меняется на кофункцию: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот. Следовательно, $ \sin $ меняется на $ \cos $.

Объединяя эти два пункта, получаем: $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = +\cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — B.

Ответ: $ \cos\alpha $

15. Замените тригонометрической функцией угла $\alpha$ выражение $\text{tg}(180^\circ - \alpha)$:

A) $\text{tg}\alpha$;

B) $\text{ctg}\alpha$;

C) $-\text{tg}\alpha$;

D) $-\text{ctg}\alpha$.

Для того чтобы заменить выражение $tg(180° - \alpha)$ тригонометрической функцией угла $\alpha$, необходимо использовать формулы приведения. Применение этих формул осуществляется по определенному алгоритму, состоящему из двух шагов.

1. Определение названия функции.
Существует правило: если в аргументе функции от углов $180°$ (или $\pi$) и $360°$ (или $2\pi$) отнимается или к ним прибавляется угол $\alpha$, то название функции сохраняется. Если же операция проводится с углами $90°$ (или $\frac{\pi}{2}$) и $270°$ (или $\frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию ($tg$ на $ctg$, $sin$ на $cos$ и т.д.).
В нашем случае в выражении $tg(180° - \alpha)$ используется угол $180°$, поэтому название функции "тангенс" сохраняется. Это означает, что правильный ответ может быть либо A) $tg\alpha$, либо C) $-tg\alpha$. Варианты B) и D) неверны.

2. Определение знака функции.
Знак итогового выражения определяется знаком исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $(180° - \alpha)$. Для простоты будем считать, что $\alpha$ — это острый угол, то есть $0° < \alpha < 90°$.
Тогда угол $180° - \alpha$ будет находиться во второй координатной четверти (его значение будет между $90°$ и $180°$).
Тангенс во второй четверти отрицателен. Это следует из определения тангенса $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, где во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Следовательно, перед полученной функцией $tg(\alpha)$ необходимо поставить знак "минус".

Объединяя результаты двух шагов, получаем итоговое тождество:
$tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $-tg\alpha$