Номер 14, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14. Упростите $ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) $:

A) $ \sin\alpha $;

B) $ \cos\alpha $;

C) $ -\sin\alpha $;

D) $ -\cos\alpha $.

Для упрощения данного тригонометрического выражения можно воспользоваться формулами приведения или формулой синуса суммы.

Способ 1: Использование формулы синуса суммы

Формула синуса суммы имеет вид: $ \sin(x + y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) $.

В нашем случае $ x = \frac{\pi}{2} $ и $ y = \alpha $. Подставим эти значения в формулу:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha) $

Известно, что $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $. Подставим эти числовые значения в выражение:

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = \cos(\alpha) + 0 = \cos(\alpha) $

Способ 2: Использование мнемонического правила для формул приведения

1. Определение знака. Будем считать угол $ \alpha $ острым. Тогда угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II координатной четверти. Исходная функция — синус. Синус во II четверти имеет знак «+».

2. Определение функции. В выражении присутствует угол $ \frac{\pi}{2} $. Если в формуле приведения используется угол $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (то есть угол на вертикальной оси единичной окружности), то название функции меняется на кофункцию: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот. Следовательно, $ \sin $ меняется на $ \cos $.

Объединяя эти два пункта, получаем: $ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = +\cos(\alpha) = \cos(\alpha) $.

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая полученное выражение с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — B.

Ответ: $ \cos\alpha $