Номер 16, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

16. Найдите значение $\cos \frac{7\pi}{6}$:

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $-\frac{1}{2}$;

D) $\frac{1}{2}$.

Решение

Чтобы найти значение выражения $\cos{\frac{7\pi}{6}}$, можно использовать тригонометрическую окружность или формулы приведения.

Способ 1: Использование формул приведения
Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы или разности с углами, для которых значения тригонометрических функций известны, например, $\pi$ или $\frac{3\pi}{2}$.
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

Применим формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
В данном случае, $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

Значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ является табличным: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно:
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрической окружности
Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти, так как он больше $\pi$ ($\frac{6\pi}{6}$) и меньше $\frac{3\pi}{2}$ ($\frac{9\pi}{6}$). В третьей четверти значение косинуса (координата по оси x) отрицательно.
Опорный угол для $\frac{7\pi}{6}$ равен $\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$.
Значение косинуса для опорного угла равно $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Учитывая, что угол находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, получаем:
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$