Номер 18, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. Упростите выражение $ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) $:

A) $ \frac{1}{2} $;

B) $ -1 $;

C) $ 1 $;

D) $ 0 $.

Дано:

Выражение $ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Для упрощения данного выражения необходимо применить формулы приведения для тригонометрических функций.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $ \cos^2(360^\circ - x) $.

Используем формулу приведения для $ \cos(360^\circ - x) $. Поскольку период функции косинус равен $ 360^\circ $, то $ \cos(360^\circ - x) = \cos(-x) $. Функция косинус является чётной, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Таким образом, $ \cos(360^\circ - x) = \cos(x) $.

Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(360^\circ - x) = \cos^2(x) $.

2. Рассмотрим второе слагаемое: $ \cos^2(270^\circ + x) $.

Используем формулу приведения для $ \cos(270^\circ + x) $. При использовании углов $ 270^\circ $ или $ \frac{3\pi}{2} $ тригонометрическая функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $ (270^\circ + x) $ находится в IV координатной четверти, где косинус имеет положительный знак.

Таким образом, $ \cos(270^\circ + x) = \sin(x) $.

Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(270^\circ + x) = \sin^2(x) $.

3. Подставим упрощённые выражения обратно в исходное.

$ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) = \cos^2(x) + \sin^2(x) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.

Следовательно, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1.