Номер 20, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

20. Найдите ctg2a, если sina = $-\frac{3}{5}(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2})$:

A) $\frac{7}{24}$;

B) $\frac{24}{7}$;

C) $\frac{25}{24}$;

D) $\frac{24}{25}$;

E) $\frac{25}{7}$.

Для решения задачи необходимо найти значение $ctg(2\alpha)$. Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $$ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)}$$ Для применения этой формулы нам сначала нужно вычислить $ctg(\alpha)$.

1. Нахождение $cos(\alpha)$
По условию, $sin(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$). В этой четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Отсюда выразим $cos^2(\alpha)$: $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$. Тогда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$. Поскольку угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти, $cos(\alpha)$ должен быть отрицательным, поэтому $cos(\alpha) = -\frac{4}{5}$.

2. Нахождение $ctg(\alpha)$
Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. Подставляем известные значения: $ctg(\alpha) = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$. (Значение котангенса в третьей четверти положительно, что соответствует полученному результату).

3. Нахождение $ctg(2\alpha)$
Теперь, когда мы знаем значение $ctg(\alpha)$, мы можем вычислить $ctg(2\alpha)$, подставив его в формулу двойного угла: $ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{4}{3}}$. Вычислим значение числителя: $(\frac{4}{3})^2 - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{16-9}{9} = \frac{7}{9}$. Вычислим значение знаменателя: $2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $ctg(2\alpha) = \frac{\frac{7}{9}}{\frac{8}{3}} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{7}{3 \cdot 8} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$