Номер 13, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13. В какой четверти расположен угол $ \frac{10\pi}{9} $:

A) I;

B) II;

C) III;

D) IV?

Дано:

Угол $\alpha = \frac{10\pi}{9}$

Найти:

Координатную четверть, в которой расположен данный угол.

Решение:

Для определения, в какой координатной четверти находится угол, заданный в радианах, можно перевести его в градусы или сравнить с границами четвертей, выраженными в радианах.

Способ 1: Перевод в градусы

Чтобы перевести радианы в градусы, используем соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$.

$\alpha = \frac{10\pi}{9} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{9}$

Сократим 180 и 9, получим 20:

$\alpha = 10 \cdot 20^\circ = 200^\circ$

Теперь вспомним границы координатных четвертей в градусах:

I четверть: от $0^\circ$ до $90^\circ$

II четверть: от $90^\circ$ до $180^\circ$

III четверть: от $180^\circ$ до $270^\circ$

IV четверть: от $270^\circ$ до $360^\circ$

Так как $180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$, то угол $200^\circ$ расположен в III четверти.

Способ 2: Сравнение в радианах

Границы четвертей в радианах:

I четверть: от $0$ до $\frac{\pi}{2}$

II четверть: от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$

III четверть: от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$

IV четверть: от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$

Сравним наш угол $\frac{10\pi}{9}$ с границами III четверти.

Сравнение с $\pi$: $\frac{10\pi}{9} = \pi + \frac{\pi}{9}$. Очевидно, что $\pi + \frac{\pi}{9} > \pi$.

Сравнение с $\frac{3\pi}{2}$: Приведем дроби к общему знаменателю 18.

$\frac{10\pi}{9} = \frac{10\pi \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{20\pi}{18}$

$\frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{27\pi}{18}$

Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{27\pi}{18}$, то $\frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, мы получили двойное неравенство: $\pi < \frac{10\pi}{9} < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол находится в III четверти.

Ответ: C) III.