Номер 15, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Замените тригонометрической функцией угла $\alpha$ выражение $\text{tg}(180^\circ - \alpha)$:

A) $\text{tg}\alpha$;

B) $\text{ctg}\alpha$;

C) $-\text{tg}\alpha$;

D) $-\text{ctg}\alpha$.

Для того чтобы заменить выражение $tg(180° - \alpha)$ тригонометрической функцией угла $\alpha$, необходимо использовать формулы приведения. Применение этих формул осуществляется по определенному алгоритму, состоящему из двух шагов.

1. Определение названия функции.
Существует правило: если в аргументе функции от углов $180°$ (или $\pi$) и $360°$ (или $2\pi$) отнимается или к ним прибавляется угол $\alpha$, то название функции сохраняется. Если же операция проводится с углами $90°$ (или $\frac{\pi}{2}$) и $270°$ (или $\frac{3\pi}{2}$), то название функции меняется на кофункцию ($tg$ на $ctg$, $sin$ на $cos$ и т.д.).
В нашем случае в выражении $tg(180° - \alpha)$ используется угол $180°$, поэтому название функции "тангенс" сохраняется. Это означает, что правильный ответ может быть либо A) $tg\alpha$, либо C) $-tg\alpha$. Варианты B) и D) неверны.

2. Определение знака функции.
Знак итогового выражения определяется знаком исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол $(180° - \alpha)$. Для простоты будем считать, что $\alpha$ — это острый угол, то есть $0° < \alpha < 90°$.
Тогда угол $180° - \alpha$ будет находиться во второй координатной четверти (его значение будет между $90°$ и $180°$).
Тангенс во второй четверти отрицателен. Это следует из определения тангенса $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$, где во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен.
Следовательно, перед полученной функцией $tg(\alpha)$ необходимо поставить знак "минус".

Объединяя результаты двух шагов, получаем итоговое тождество:
$tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$.

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $-tg\alpha$