Номер 19, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19. Найдите $tg2\alpha$, если $cos\alpha = \frac{4}{5}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$):

A) $- \frac{24}{7}$;

B) $\frac{24}{7}$;

C) $- \frac{24}{25}$;

D) $\frac{24}{25}$;

E) $\frac{25}{7}$.

Дано:

$cos\alpha = \frac{4}{5}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Найти:

$tg2\alpha$

Решение:

Для нахождения $tg2\alpha$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Чтобы использовать эту формулу, необходимо сначала найти значение $tg\alpha$.

Из условия известно, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), следовательно, все его тригонометрические функции (включая синус и тангенс) положительны.

Найдем $sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

$sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Так как $sin\alpha > 0$ в первой четверти, получаем:

$sin\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, зная синус и косинус, найдем тангенс:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Наконец, подставим найденное значение $tg\alpha$ в формулу для $tg2\alpha$:

$tg2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$

Выполним деление дробей (умножим на обратную):

$tg2\alpha = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 2}{2 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$