Номер 25, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25. Упростите выражение $\frac{\sin 2\alpha - \sin 3\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 3\alpha + \cos 4\alpha}$:

A) $tga$;

B) $ctga$;

C) $tg2a$;

D) $tg3a$;

E) 1.

Решение

Для упрощения данного выражения сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе.

$\frac{\sin{2\alpha} - \sin{3\alpha} + \sin{4\alpha}}{\cos{2\alpha} - \cos{3\alpha} + \cos{4\alpha}} = \frac{(\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha}) - \sin{3\alpha}}{(\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha}) - \cos{3\alpha}}$

Воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель дроби. Применяя формулу суммы синусов для $(\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha})$, получаем:

$\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha} = 2\sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)$

Теперь весь числитель имеет вид $2\sin(3\alpha)\cos(\alpha) - \sin(3\alpha)$. Вынесем общий множитель $\sin(3\alpha)$ за скобки:

$\sin(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)$

Аналогично преобразуем знаменатель дроби. Применяя формулу суммы косинусов для $(\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha})$, получаем:

$\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha} = 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$

Теперь весь знаменатель имеет вид $2\cos(3\alpha)\cos(\alpha) - \cos(3\alpha)$. Вынесем общий множитель $\cos(3\alpha)$ за скобки:

$\cos(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{\sin(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)}{\cos(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)}$

При условии, что $2\cos\alpha - 1 \neq 0$, мы можем сократить общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$. В результате получаем:

$\frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \tan(3\alpha)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, приходим к выводу, что правильный ответ — D.

Ответ: D) tg3α.