Номер 24, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. $tg\alpha = \frac{3}{5}$. Вычислите $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}:$

A) -2;

B) 2;

C) -4;

D) 4;

E) $\frac{4}{5}$.

Нам дано значение тангенса угла $ \alpha $ и требуется вычислить значение дроби, содержащей синус и косинус этого угла.

$ \tg\alpha = \frac{3}{5} $

Вычислить: $ \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Решение:

Чтобы использовать известное значение тангенса, мы можем преобразовать данное выражение. Вспомним, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Разделим и числитель, и знаменатель исходной дроби на $ \cos\alpha $. Это действие является корректным, так как если бы $ \cos\alpha = 0 $, то $ \tg\alpha $ был бы не определен, что противоречит условию задачи ($ \tg\alpha = \frac{3}{5} $).

$ \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} $

Теперь заменим $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ на $ \tg\alpha $ и $ \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} $ на $ 1 $:

$ \frac{\tg\alpha + 1}{\tg\alpha - 1} $

Подставим в полученное выражение данное в условии значение $ \tg\alpha = \frac{3}{5} $:

$ \frac{\frac{3}{5} + 1}{\frac{3}{5} - 1} = \frac{\frac{3}{5} + \frac{5}{5}}{\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{\frac{3+5}{5}}{\frac{3-5}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{-\frac{2}{5}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{8}{5} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 2} = -\frac{8}{2} = -4 $

Таким образом, значение выражения равно -4. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: -4.