Страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

11.11. Докажите, что для любого натурального $n > 1$ и любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $(1 + x)^n > 1 + nx$.

Для доказательства неравенства $(1+x)^n > 1+nx$ при натуральном $n > 1$ и положительном $x$ воспользуемся методом математической индукции по переменной $n$.

1. База индукции

Проверим, выполняется ли неравенство для наименьшего натурального числа $n$, удовлетворяющего условию $n > 1$, то есть для $n = 2$.

Подставим $n=2$ в исходное неравенство:

$(1+x)^2 > 1 + 2x$

Раскроем скобки в левой части выражения:

$1 + 2x + x^2 > 1 + 2x$

Вычтем $1 + 2x$ из обеих частей неравенства:

$x^2 > 0$

Согласно условию задачи, $x$ — положительное число ($x > 0$), следовательно, его квадрат $x^2$ также строго больше нуля. Таким образом, для $n=2$ неравенство является верным. База индукции установлена.

2. Индукционный переход

Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k$, где $k \ge 2$. Это наше индукционное предположение:

$(1+x)^k > 1 + kx$

Теперь докажем, что из этого предположения следует справедливость неравенства для следующего натурального числа, то есть для $n = k+1$. Нам нужно доказать, что:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Преобразуем левую часть этого неравенства:

$(1+x)^{k+1} = (1+x)^k \cdot (1+x)$

Используем индукционное предположение $(1+x)^k > 1+kx$. Так как по условию $x > 0$, то множитель $(1+x)$ также положителен. Умножим обе части неравенства индукционного предположения на $(1+x)$. Знак неравенства при этом не изменится:

$(1+x)^k \cdot (1+x) > (1+kx) \cdot (1+x)$

Таким образом, мы имеем:

$(1+x)^{k+1} > (1+kx)(1+x)$

Раскроем скобки в правой части полученного неравенства:

$(1+kx)(1+x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2$

Мы получили следующее соотношение:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$

Нам нужно доказать, что $(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$. Сравним правую часть полученного нами неравенства с выражением $1 + (k+1)x$.

Поскольку $k \ge 2$ и $x > 0$, слагаемое $kx^2$ является строго положительным:

$kx^2 > 0$

Следовательно, справедливо неравенство:

$1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Объединяя результаты, мы можем составить цепочку неравенств:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Из этой цепочки по свойству транзитивности следует, что:

$(1+x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Это и есть то, что нам требовалось доказать на шаге индукционного перехода.

Заключение

Мы доказали, что неравенство верно для $n=2$ (база индукции), и показали, что если оно верно для $n=k$, то оно верно и для $n=k+1$ (индукционный переход). Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство $(1+x)^n > 1+nx$ справедливо для любого натурального числа $n > 1$ и любого положительного числа $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

11.12. 1) Два токаря должны были изготовить определенное число деталей. После трехчасовой совместной работы работать продолжал только второй токарь, который проработал еще 4 часа. После этого задание оказалось перевыполненным на 12,5%. За какое время мог бы выполнить задание каждый токарь, если второму на это понадобится на 4 ч меньше, чем первому?

2) Слесарь может выполнить задание по обработке деталей на 15 ч быстрее, чем ученик. Если ученик отработает 18 ч, а слесарь продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то будет выполнено 0,6 всего задания. Сколько времени потребуется ученику для самостоятельного выполнения задания?

1)

Пусть вся работа, которую должны были выполнить токари, равна 1. Обозначим время, необходимое первому токарю для выполнения всей работы в одиночку, через $x$ часов, а время, необходимое второму токарю, — через $y$ часов.

Тогда производительность первого токаря составляет $\frac{1}{x}$ работы в час, а производительность второго токаря — $\frac{1}{y}$ работы в час.

Из условия задачи известно, что второму токарю для выполнения задания требуется на 4 часа меньше, чем первому. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x - 4$

Два токаря работали вместе 3 часа, после чего второй токарь работал один еще 4 часа. За это время они выполнили всю работу и перевыполнили ее на 12,5%. Общий объем выполненной работы составляет $1 + 0,125 = 1,125$. В виде обыкновенной дроби это $1,125 = \frac{1125}{1000} = \frac{9}{8}$.

Составим уравнение, отражающее объем выполненной работы:

$3 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) + 4 \cdot \frac{1}{y} = \frac{9}{8}$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{3}{y} + \frac{4}{y} = \frac{9}{8}$

$\frac{3}{x} + \frac{7}{y} = \frac{9}{8}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} y = x - 4 \\ \frac{3}{x} + \frac{7}{y} = \frac{9}{8} \end{cases}$

Подставим $y = x - 4$ во второе уравнение:

$\frac{3}{x} + \frac{7}{x - 4} = \frac{9}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$:

$\frac{3(x - 4) + 7x}{x(x - 4)} = \frac{9}{8}$

$\frac{3x - 12 + 7x}{x^2 - 4x} = \frac{9}{8}$

$\frac{10x - 12}{x^2 - 4x} = \frac{9}{8}$

Используя свойство пропорции, получим:

$8(10x - 12) = 9(x^2 - 4x)$

$80x - 96 = 9x^2 - 36x$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$9x^2 - 116x + 96 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-116)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 96 = 13456 - 3456 = 10000$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-116) + \sqrt{10000}}{2 \cdot 9} = \frac{116 + 100}{18} = \frac{216}{18} = 12$

$x_2 = \frac{-(-116) - \sqrt{10000}}{2 \cdot 9} = \frac{116 - 100}{18} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$

По условию $y = x - 4$. Так как время не может быть отрицательным ($y>0$), то $x$ должно быть больше 4. Корень $x_2 = \frac{8}{9}$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, подходит только $x_1 = 12$.

Время работы первого токаря — 12 часов. Найдем время работы второго токаря:

$y = 12 - 4 = 8$

Ответ: первый токарь мог бы выполнить задание за 12 часов, а второй — за 8 часов.

2)

Пусть вся работа по обработке деталей равна 1. Обозначим время, за которое ученик может выполнить все задание самостоятельно, через $u$ часов, а время, за которое слесарь может выполнить задание, — через $s$ часов.

Тогда производительность ученика составляет $\frac{1}{u}$ работы в час, а производительность слесаря — $\frac{1}{s}$ работы в час.

Из условия задачи известно, что слесарь выполняет задание на 15 часов быстрее ученика. Составим первое уравнение:

$s = u - 15$

Также известно, что если ученик работает 18 часов, а затем слесарь работает 6 часов, то вместе они выполняют 0,6 (или $\frac{3}{5}$) всего задания. Составим второе уравнение:

$18 \cdot \frac{1}{u} + 6 \cdot \frac{1}{s} = 0,6$

$\frac{18}{u} + \frac{6}{s} = \frac{3}{5}$

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} s = u - 15 \\ \frac{18}{u} + \frac{6}{s} = \frac{3}{5} \end{cases}$

Подставим $s = u - 15$ во второе уравнение:

$\frac{18}{u} + \frac{6}{u - 15} = \frac{3}{5}$

Для удобства разделим обе части уравнения на 3:

$\frac{6}{u} + \frac{2}{u - 15} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $u(u-15)$:

$\frac{6(u - 15) + 2u}{u(u - 15)} = \frac{1}{5}$

$\frac{6u - 90 + 2u}{u^2 - 15u} = \frac{1}{5}$

$\frac{8u - 90}{u^2 - 15u} = \frac{1}{5}$

Используя свойство пропорции, получим:

$5(8u - 90) = 1(u^2 - 15u)$

$40u - 450 = u^2 - 15u$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$u^2 - 55u + 450 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 55, а их произведение — 450. Этим условиям удовлетворяют числа 45 и 10. Таким образом, $u_1 = 45$, $u_2 = 10$.

Проверим корни. По условию $s = u - 15$. Так как время $s$ должно быть положительным, $u$ должно быть больше 15. Корень $u_2 = 10$ не удовлетворяет этому условию, так как $s = 10 - 15 = -5$. Следовательно, этот корень является посторонним.

Единственное подходящее решение — $u = 45$. Это и есть время, необходимое ученику для самостоятельного выполнения задания.

Ответ: ученику потребуется 45 часов.

11.13. Составьте задачу, которая решалась бы с помощью следующего

уравнения:

1) $ \frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8} $;

2) $ \frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1. $

1)

Для уравнения $\frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8}$ можно составить следующую задачу на производительность труда или скорость движения. Рассмотрим задачу на производительность.

Задача: Два оператора получили заказ набрать по 20 страниц текста каждому. Скорость набора второго оператора на 2 страницы в час выше, чем у первого. Сумма времени, которое первый оператор потратил на свою работу, и времени, которое потратил второй, оказалась равна времени, за которое 20 страниц набрал бы третий оператор, работающий со скоростью 8 страниц в час. Требуется найти скорость набора первого оператора.

Составление уравнения по условию задачи:
Пусть $x$ км/ч — скорость (производительность) первого оператора.
Тогда скорость второго оператора равна $(x+2)$ страниц в час.
Время, которое затратил первый оператор на набор 20 страниц, равно $t_1 = \frac{20}{x}$ часов.
Время, которое затратил второй оператор на набор 20 страниц, равно $t_2 = \frac{20}{x+2}$ часов.
Сумма их времени: $T_{сумма} = t_1 + t_2 = \frac{20}{x} + \frac{20}{x+2}$.
Время, которое затратил бы третий оператор со скоростью 8 стр/час на 20 страниц, равно $T_3 = \frac{20}{8}$ часов.
По условию задачи, $T_{сумма} = T_3$.
Таким образом, мы получаем математическую модель задачи в виде уравнения: $\frac{20}{x} + \frac{20}{x+2} = \frac{20}{8}$.

Ответ: Задача: Два оператора получили заказ набрать по 20 страниц текста каждому. Скорость набора второго оператора на 2 страницы в час выше, чем у первого. Сумма времени, которое первый оператор потратил на свою работу, и времени, которое потратил второй, оказалась равна времени, за которое 20 страниц набрал бы третий оператор, работающий со скоростью 8 страниц в час. Требуется найти скорость набора первого оператора.

2)

Для уравнения $\frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1$ можно составить классическую задачу на совместную работу.

Задача: Два трактора, работая совместно, вспахивают поле за 8 часов. Если они будут работать отдельно, то первому трактору потребуется на 12 часов больше, чем второму, чтобы вспахать то же поле. За сколько часов каждый трактор может вспахать поле, работая в одиночку?

Составление уравнения по условию задачи:
Примем всю работу по вспашке поля за 1.
Пусть второй (более производительный) трактор может вспахать все поле за $x$ часов. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) равна $\frac{1}{x}$.
Первому трактору для выполнения той же работы требуется на 12 часов больше, то есть $(x+12)$ часов. Его производительность равна $\frac{1}{x+12}$.
При совместной работе их производительности складываются, и общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}$.
По условию, работая вместе, они вспахивают поле за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ поля в час.
Приравняем два выражения для совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12} = \frac{1}{8}$.
Чтобы привести это уравнение к виду, данному в условии, умножим обе его части на 8:
$8 \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+12}) = 8 \cdot \frac{1}{8}$
$\frac{8}{x} + \frac{8}{x+12} = 1$.
Это и есть требуемое уравнение.

Ответ: Задача: Два трактора, работая совместно, вспахивают поле за 8 часов. Если они будут работать отдельно, то первому трактору потребуется на 12 часов больше, чем второму, чтобы вспахать то же поле. За сколько часов каждый трактор может вспахать поле, работая в одиночку?

11.14.1) Упростите выражение $\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \sqrt{x} - 2,2$ и найдите его значение при $x = 0,04$.

2) Упростите выражение $\frac{3}{\sqrt{y} + 1} - \frac{3}{\sqrt{y} - 1} + \sqrt{y} + 1,8$ и найдите его значение при $y = 1,44$.

1) Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений: $x \ge 0$ и $x \ne 9$.
Исходное выражение: $\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \sqrt{x} - 2,2$.
Приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $3 - \sqrt{x}$ и $\sqrt{x} + 3$ равен $(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, получаем:$(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x}) = 3^2 - (\sqrt{x})^2 = 9 - x$.
Сложим дроби:
$\frac{2}{3 - \sqrt{x}} + \frac{2}{3 + \sqrt{x}} = \frac{2(3 + \sqrt{x}) + 2(3 - \sqrt{x})}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{6 + 2\sqrt{x} + 6 - 2\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{12}{9 - x}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{12}{9 - x} + \sqrt{x} - 2,2$.
Это и есть упрощенное выражение.

Теперь найдем значение этого выражения при $x = 0,04$.
Сначала вычислим $\sqrt{x}$: $\sqrt{0,04} = 0,2$.
Подставим значения $x = 0,04$ и $\sqrt{x} = 0,2$ в упрощенное выражение:
$\frac{12}{9 - 0,04} + 0,2 - 2,2 = \frac{12}{8,96} - 2$.
Выполним вычисления:
$\frac{12}{8,96} = \frac{12 \cdot 100}{896} = \frac{1200}{896}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
$\frac{1200 \div 16}{896 \div 16} = \frac{75}{56}$.
Итоговое значение: $\frac{75}{56} - 2 = \frac{75}{56} - \frac{112}{56} = -\frac{37}{56}$.
Ответ: $-\frac{37}{56}$.

2) Сначала упростим данное выражение. Область допустимых значений: $y \ge 0$ и $y \ne 1$.
Исходное выражение: $\frac{3}{\sqrt{y} + 1} - \frac{3}{\sqrt{y} - 1} + \sqrt{y} + 1,8$.
Приведем первые две дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $\sqrt{y} + 1$ и $\sqrt{y} - 1$ равен $(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1)$. Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1) = (\sqrt{y})^2 - 1^2 = y - 1$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{3(\sqrt{y} - 1) - 3(\sqrt{y} + 1)}{(\sqrt{y} + 1)(\sqrt{y} - 1)} = \frac{3\sqrt{y} - 3 - 3\sqrt{y} - 3}{y - 1} = \frac{-6}{y - 1}$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{-6}{y - 1} + \sqrt{y} + 1,8$.
Это и есть упрощенное выражение.

Теперь найдем значение этого выражения при $y = 1,44$.
Сначала вычислим $\sqrt{y}$: $\sqrt{1,44} = 1,2$.
Подставим значения $y = 1,44$ и $\sqrt{y} = 1,2$ в упрощенное выражение:
$\frac{-6}{1,44 - 1} + 1,2 + 1,8 = \frac{-6}{0,44} + 3$.
Выполним вычисления:
$\frac{-6}{0,44} = \frac{-6 \cdot 100}{44} = \frac{-600}{44}$.
Сократим дробь на 4:
$\frac{-600 \div 4}{44 \div 4} = \frac{-150}{11}$.
Итоговое значение: $-\frac{150}{11} + 3 = -\frac{150}{11} + \frac{33}{11} = -\frac{117}{11}$.
Ответ: $-\frac{117}{11}$.

11.15. Функция f(x) задана формулой. Найдите значения f(1), f(2), f(3), f(4):

1) $f(x) = x^2 + 2x;$

2) $f(x) = x^2 + 2x - 2;$

3) $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x;$

4) $f(x) = x^2 + 2x + \sqrt{x}.$

Для нахождения значений функции $f(x)$ в точках $x=1, x=2, x=3$ и $x=4$, необходимо подставить эти значения вместо $x$ в каждую из заданных формул.

1) Для функции $f(x) = x^2 + 2x$:

При $x=1$: $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3$

При $x=2$: $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$

При $x=3$: $f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15$

При $x=4$: $f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 = 16 + 8 = 24$

Ответ: $f(1)=3$, $f(2)=8$, $f(3)=15$, $f(4)=24$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 2x - 2$:

При $x=1$: $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 + 2 - 2 = 1$

При $x=2$: $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 - 2 = 4 + 4 - 2 = 6$

При $x=3$: $f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 2 = 9 + 6 - 2 = 13$

При $x=4$: $f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 - 2 = 16 + 8 - 2 = 22$

Ответ: $f(1)=1$, $f(2)=6$, $f(3)=13$, $f(4)=22$.

3) Для функции $f(x) = x^3 + 2x^2 - 7x$:

При $x=1$: $f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 = 1 + 2 - 7 = -4$

При $x=2$: $f(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 = 8 + 2 \cdot 4 - 14 = 8 + 8 - 14 = 2$

При $x=3$: $f(3) = 3^3 + 2 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 = 27 + 2 \cdot 9 - 21 = 27 + 18 - 21 = 24$

При $x=4$: $f(4) = 4^3 + 2 \cdot 4^2 - 7 \cdot 4 = 64 + 2 \cdot 16 - 28 = 64 + 32 - 28 = 68$

Ответ: $f(1)=-4$, $f(2)=2$, $f(3)=24$, $f(4)=68$.

4) Для функции $f(x) = x^2 + 2x + \sqrt{x}$:

При $x=1$: $f(1) = 1^2 + 2 \cdot 1 + \sqrt{1} = 1 + 2 + 1 = 4$

При $x=2$: $f(2) = 2^2 + 2 \cdot 2 + \sqrt{2} = 4 + 4 + \sqrt{2} = 8 + \sqrt{2}$

При $x=3$: $f(3) = 3^2 + 2 \cdot 3 + \sqrt{3} = 9 + 6 + \sqrt{3} = 15 + \sqrt{3}$

При $x=4$: $f(4) = 4^2 + 2 \cdot 4 + \sqrt{4} = 16 + 8 + 2 = 26$

Ответ: $f(1)=4$, $f(2)=8 + \sqrt{2}$, $f(3)=15 + \sqrt{3}$, $f(4)=26$.

11.16. Установите закономерность в записи чисел:

1) 2; 4; 6; 8; 10; ... ;

2) 5; 10; 15; 20; 25; ... ;

3) 1; 4; 9; 16; 26; ... ;

4) 1; -1; 1; -1; 1; ... .

1) 2; 4; 6; 8; 10; ... ;
Рассмотрим данную последовательность чисел. Можно заметить, что каждый следующий член последовательности больше предыдущего на одно и то же число. Найдем эту разность:
$4 - 2 = 2$
$6 - 4 = 2$
$8 - 6 = 2$
$10 - 8 = 2$
Таким образом, каждый последующий член последовательности получается прибавлением числа 2 к предыдущему. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 2$ и разностью $d = 2$. Формула для n-го члена такой прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$. Подставив наши значения, получим: $a_n = 2 + (n-1) \cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n$. Данная последовательность представляет собой ряд четных натуральных чисел.
Ответ: Каждый следующий член последовательности на 2 больше предыдущего. Это последовательность четных натуральных чисел, n-й член которой вычисляется по формуле $a_n = 2n$.

2) 5; 10; 15; 20; 25; ... ;
Рассмотрим данную последовательность. Найдем разность между соседними членами:
$10 - 5 = 5$
$15 - 10 = 5$
$20 - 15 = 5$
$25 - 20 = 5$
Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = 5$ и разностью $d = 5$. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \cdot 5 = 5 + 5n - 5 = 5n$. Эта последовательность состоит из натуральных чисел, кратных 5.
Ответ: Каждый следующий член последовательности на 5 больше предыдущего. Это последовательность натуральных чисел, кратных 5, n-й член которой вычисляется по формуле $a_n = 5n$.

3) 1; 4; 9; 16; 26; ... ;
Проанализируем члены данной последовательности.
Первый член: $1 = 1^2$
Второй член: $4 = 2^2$
Третий член: $9 = 3^2$
Четвертый член: $16 = 4^2$
Первые четыре члена являются квадратами их порядковых номеров. По этой закономерности, пятый член должен быть равен $5^2 = 25$. Однако в последовательности указано число 26. Скорее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если предположить, что пятый член равен 25, то закономерность очевидна: каждый член последовательности является квадратом своего порядкового номера.
Ответ: Каждый член последовательности является квадратом своего порядкового номера $n$, то есть $a_n = n^2$. В условии, вероятно, допущена опечатка: пятый член должен быть 25, а не 26.

4) 1; –1; 1; –1; 1; ... .
Данная последовательность является знакочередующейся. Ее члены поочередно принимают значения 1 и –1.
Эту закономерность можно описать как умножение предыдущего члена на –1 для получения следующего:
$1 \cdot (-1) = -1$
$(-1) \cdot (-1) = 1$
$1 \cdot (-1) = -1$
Это геометрическая прогрессия с первым членом $a_1 = 1$ и знаменателем $q = -1$. Формула n-го члена может быть записана как $a_n = (-1)^{n-1}$ или $a_n = (-1)^{n+1}$. Проверим формулу $a_n = (-1)^{n-1}$:
Для $n=1$: $a_1 = (-1)^{1-1} = (-1)^0 = 1$
Для $n=2$: $a_2 = (-1)^{2-1} = (-1)^1 = -1$
Для $n=3$: $a_3 = (-1)^{3-1} = (-1)^2 = 1$
Формула верна.
Ответ: Члены последовательности поочередно принимают значения 1 и –1, начиная с 1. Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на –1. Формула n-го члена: $a_n = (-1)^{n-1}$.

16. Найдите значение $\cos \frac{7\pi}{6}$:

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $-\frac{1}{2}$;

D) $\frac{1}{2}$.

Решение

Чтобы найти значение выражения $\cos{\frac{7\pi}{6}}$, можно использовать тригонометрическую окружность или формулы приведения.

Способ 1: Использование формул приведения
Представим угол $\frac{7\pi}{6}$ в виде суммы или разности с углами, для которых значения тригонометрических функций известны, например, $\pi$ или $\frac{3\pi}{2}$.
$\frac{7\pi}{6} = \frac{6\pi + \pi}{6} = \frac{6\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

Применим формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$.
В данном случае, $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$

Значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ является табличным: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно:
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Способ 2: Использование тригонометрической окружности
Угол $\frac{7\pi}{6}$ находится в третьей четверти, так как он больше $\pi$ ($\frac{6\pi}{6}$) и меньше $\frac{3\pi}{2}$ ($\frac{9\pi}{6}$). В третьей четверти значение косинуса (координата по оси x) отрицательно.
Опорный угол для $\frac{7\pi}{6}$ равен $\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}$.
Значение косинуса для опорного угла равно $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Учитывая, что угол находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, получаем:
$\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Оба способа дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом B.

Ответ: B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

17. Найдите значение $cos150^\circ$:

A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

B) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $-\frac{1}{2}$;

D) $\frac{1}{2}$.

Для нахождения значения $cos(150^\circ)$ можно использовать формулы приведения или единичную тригонометрическую окружность.

Способ 1: Использование формул приведения

Представим угол $150^\circ$ в виде разности $180^\circ - 30^\circ$ и применим формулу приведения $cos(180^\circ - \alpha) = -cos(\alpha)$. Эта формула верна, так как угол $150^\circ$ находится во второй координатной четверти, где значения косинуса отрицательны. В нашем случае $\alpha = 30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$cos(150^\circ) = cos(180^\circ - 30^\circ) = -cos(30^\circ)$.

Из таблицы основных тригонометрических значений известно, что $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Способ 2: Использование единичной окружности

На единичной окружности значение косинуса угла равно абсциссе (координате по оси X) точки, соответствующей данному углу. Угол $150^\circ$ расположен во второй четверти. В этой четверти абсциссы всех точек отрицательны, следовательно, $cos(150^\circ)$ будет отрицательным числом.

Опорный угол для $150^\circ$ (угол, который образует терминальная сторона угла с ближайшей частью оси абсцисс) равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Значение косинуса для угла $150^\circ$ по модулю равно значению косинуса для опорного угла $30^\circ$, но с учётом знака для второй четверти. Мы знаем, что $cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как во второй четверти косинус отрицателен, получаем: $cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ находится под буквой B.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

18. Упростите выражение $ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) $:

A) $ \frac{1}{2} $;

B) $ -1 $;

C) $ 1 $;

D) $ 0 $.

Дано:

Выражение $ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Для упрощения данного выражения необходимо применить формулы приведения для тригонометрических функций.

1. Рассмотрим первое слагаемое: $ \cos^2(360^\circ - x) $.

Используем формулу приведения для $ \cos(360^\circ - x) $. Поскольку период функции косинус равен $ 360^\circ $, то $ \cos(360^\circ - x) = \cos(-x) $. Функция косинус является чётной, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Таким образом, $ \cos(360^\circ - x) = \cos(x) $.

Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(360^\circ - x) = \cos^2(x) $.

2. Рассмотрим второе слагаемое: $ \cos^2(270^\circ + x) $.

Используем формулу приведения для $ \cos(270^\circ + x) $. При использовании углов $ 270^\circ $ или $ \frac{3\pi}{2} $ тригонометрическая функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $ (270^\circ + x) $ находится в IV координатной четверти, где косинус имеет положительный знак.

Таким образом, $ \cos(270^\circ + x) = \sin(x) $.

Возводя в квадрат, получаем: $ \cos^2(270^\circ + x) = \sin^2(x) $.

3. Подставим упрощённые выражения обратно в исходное.

$ \cos^2(360^\circ - x) + \cos^2(270^\circ + x) = \cos^2(x) + \sin^2(x) $.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице:

$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $.

Следовательно, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: 1.

19. Найдите $tg2\alpha$, если $cos\alpha = \frac{4}{5}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$):

A) $- \frac{24}{7}$;

B) $\frac{24}{7}$;

C) $- \frac{24}{25}$;

D) $\frac{24}{25}$;

E) $\frac{25}{7}$.

Дано:

$cos\alpha = \frac{4}{5}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

Найти:

$tg2\alpha$

Решение:

Для нахождения $tg2\alpha$ воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

$tg2\alpha = \frac{2tg\alpha}{1 - tg^2\alpha}$

Чтобы использовать эту формулу, необходимо сначала найти значение $tg\alpha$.

Из условия известно, что угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), следовательно, все его тригонометрические функции (включая синус и тангенс) положительны.

Найдем $sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

$sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$

$sin^2\alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}$

Так как $sin\alpha > 0$ в первой четверти, получаем:

$sin\alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Теперь, зная синус и косинус, найдем тангенс:

$tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Наконец, подставим найденное значение $tg\alpha$ в формулу для $tg2\alpha$:

$tg2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{6}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$

Выполним деление дробей (умножим на обратную):

$tg2\alpha = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 2}{2 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$

20. Найдите ctg2a, если sina = $-\frac{3}{5}(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2})$:

A) $\frac{7}{24}$;

B) $\frac{24}{7}$;

C) $\frac{25}{24}$;

D) $\frac{24}{25}$;

E) $\frac{25}{7}$.

Для решения задачи необходимо найти значение $ctg(2\alpha)$. Воспользуемся формулой котангенса двойного угла: $$ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)}$$ Для применения этой формулы нам сначала нужно вычислить $ctg(\alpha)$.

1. Нахождение $cos(\alpha)$
По условию, $sin(\alpha) = -\frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в третьей четверти ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$). В этой четверти и синус, и косинус имеют отрицательные значения. Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$. Отсюда выразим $cos^2(\alpha)$: $cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$. Тогда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$. Поскольку угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти, $cos(\alpha)$ должен быть отрицательным, поэтому $cos(\alpha) = -\frac{4}{5}$.

2. Нахождение $ctg(\alpha)$
Котангенс угла $\alpha$ определяется как отношение косинуса к синусу: $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$. Подставляем известные значения: $ctg(\alpha) = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$. (Значение котангенса в третьей четверти положительно, что соответствует полученному результату).

3. Нахождение $ctg(2\alpha)$
Теперь, когда мы знаем значение $ctg(\alpha)$, мы можем вычислить $ctg(2\alpha)$, подставив его в формулу двойного угла: $ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2 - 1}{2 \cdot \frac{4}{3}}$. Вычислим значение числителя: $(\frac{4}{3})^2 - 1 = \frac{16}{9} - 1 = \frac{16-9}{9} = \frac{7}{9}$. Вычислим значение знаменателя: $2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$. Теперь разделим числитель на знаменатель: $ctg(2\alpha) = \frac{\frac{7}{9}}{\frac{8}{3}} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{7}{3 \cdot 8} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$

21. $\sin\alpha = \frac{5}{13} (\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi)$. Вычислите $\text{tg}\alpha$:

A) $-\frac{5}{12}$;
B) $\frac{5}{12}$;
C) $\frac{12}{13}$;
D) $-\frac{12}{13}$;
E) 5.

Для того чтобы вычислить $\tg \alpha$, воспользуемся определением тангенса: $\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
Нам известно значение $\sin \alpha = \frac{5}{13}$. Теперь необходимо найти $\cos \alpha$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2 \alpha$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
Подставим известное значение $\sin \alpha$:
$\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169}{169} - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
Отсюда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй четверти координатной плоскости. Во второй четверти косинус имеет отрицательное значение, следовательно, мы выбираем знак "минус":
$\cos \alpha = -\frac{12}{13}$.
Теперь мы можем вычислить тангенс:
$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \left(-\frac{13}{12}\right) = -\frac{5}{12}$.
Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту A).
Ответ: A) $-\frac{5}{12}$.

22. $ \cos 2a = \frac{1}{4} $. Вычислите $ \sin^2 2a $:

A) 0,75;

B) 0,9375;

C) 0,125;

D) 0,5;

E) -0,725.

Дано:

$cos(2α) = \frac{1}{4}$

Найти:

$sin^2(2α)$

Решение:

Для решения этой задачи мы воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, которое гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$.

Применим это тождество для угла $2α$: $sin^2(2α) + cos^2(2α) = 1$.

Из этого уравнения мы можем выразить $sin^2(2α)$: $sin^2(2α) = 1 - cos^2(2α)$.

Нам дано, что $cos(2α) = \frac{1}{4}$. Подставим это значение в наше выражение. Обратите внимание, что $cos^2(2α)$ означает $(cos(2α))^2$. $sin^2(2α) = 1 - (\frac{1}{4})^2$.

Возведем дробь в квадрат: $sin^2(2α) = 1 - \frac{1}{16}$.

Теперь выполним вычитание, приведя единицу к знаменателю 16: $sin^2(2α) = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Варианты ответов даны в виде десятичных дробей, поэтому переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{15}{16} = 0.9375$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту B).

Ответ: $0,9375$.

23. $ \cos\alpha = \frac{1}{5} $. Вычислите $ \frac{2\sin\alpha + \sin 2\alpha}{2\sin\alpha - \sin 2\alpha} $:

A) 0,25;

B) 0,5;

C) 0,75;

D) 1,25;

E) 1,5.

Дано:

$\cos\alpha = \frac{1}{5}$

Найти:

Значение выражения $\frac{2\sin\alpha + \sin2\alpha}{2\sin\alpha - \sin2\alpha}$

Решение:

Для решения данной задачи мы сначала упростим данное тригонометрическое выражение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sin\alpha + \sin2\alpha}{2\sin\alpha - \sin2\alpha} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2\sin\alpha$. Поскольку из условия $\cos\alpha = \frac{1}{5}$, следует, что $\alpha$ не является кратным $\pi$, а значит $\sin\alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $2\sin\alpha$.

$\frac{2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{2\sin\alpha(1 - \cos\alpha)} = \frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $\cos\alpha = \frac{1}{5}$:

$\frac{1 + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{4}{5}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{2} = 1,5$

Этот результат соответствует варианту ответа E).

Ответ: 1,5.

24. $tg\alpha = \frac{3}{5}$. Вычислите $\frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}:$

A) -2;

B) 2;

C) -4;

D) 4;

E) $\frac{4}{5}$.

Нам дано значение тангенса угла $ \alpha $ и требуется вычислить значение дроби, содержащей синус и косинус этого угла.

$ \tg\alpha = \frac{3}{5} $

Вычислить: $ \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} $

Решение:

Чтобы использовать известное значение тангенса, мы можем преобразовать данное выражение. Вспомним, что тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $.

Разделим и числитель, и знаменатель исходной дроби на $ \cos\alpha $. Это действие является корректным, так как если бы $ \cos\alpha = 0 $, то $ \tg\alpha $ был бы не определен, что противоречит условию задачи ($ \tg\alpha = \frac{3}{5} $).

$ \frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}} $

Теперь заменим $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ на $ \tg\alpha $ и $ \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} $ на $ 1 $:

$ \frac{\tg\alpha + 1}{\tg\alpha - 1} $

Подставим в полученное выражение данное в условии значение $ \tg\alpha = \frac{3}{5} $:

$ \frac{\frac{3}{5} + 1}{\frac{3}{5} - 1} = \frac{\frac{3}{5} + \frac{5}{5}}{\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{\frac{3+5}{5}}{\frac{3-5}{5}} = \frac{\frac{8}{5}}{-\frac{2}{5}} $

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$ \frac{8}{5} \cdot (-\frac{5}{2}) = -\frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 2} = -\frac{8}{2} = -4 $

Таким образом, значение выражения равно -4. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: -4.

25. Упростите выражение $\frac{\sin 2\alpha - \sin 3\alpha + \sin 4\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 3\alpha + \cos 4\alpha}$:

A) $tga$;

B) $ctga$;

C) $tg2a$;

D) $tg3a$;

E) 1.

Решение

Для упрощения данного выражения сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе.

$\frac{\sin{2\alpha} - \sin{3\alpha} + \sin{4\alpha}}{\cos{2\alpha} - \cos{3\alpha} + \cos{4\alpha}} = \frac{(\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha}) - \sin{3\alpha}}{(\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha}) - \cos{3\alpha}}$

Воспользуемся формулами преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$

Преобразуем числитель дроби. Применяя формулу суммы синусов для $(\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha})$, получаем:

$\sin{4\alpha} + \sin{2\alpha} = 2\sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha)$

Теперь весь числитель имеет вид $2\sin(3\alpha)\cos(\alpha) - \sin(3\alpha)$. Вынесем общий множитель $\sin(3\alpha)$ за скобки:

$\sin(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)$

Аналогично преобразуем знаменатель дроби. Применяя формулу суммы косинусов для $(\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha})$, получаем:

$\cos{4\alpha} + \cos{2\alpha} = 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha)$

Теперь весь знаменатель имеет вид $2\cos(3\alpha)\cos(\alpha) - \cos(3\alpha)$. Вынесем общий множитель $\cos(3\alpha)$ за скобки:

$\cos(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение:

$\frac{\sin(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)}{\cos(3\alpha)(2\cos\alpha - 1)}$

При условии, что $2\cos\alpha - 1 \neq 0$, мы можем сократить общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$. В результате получаем:

$\frac{\sin(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \tan(3\alpha)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, приходим к выводу, что правильный ответ — D.

Ответ: D) tg3α.