Страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

29.22. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\beta}}$ при $0 \le \beta \le 90^{\circ}$;

2) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos\beta}}$ при $360^{\circ} \le \beta \le 720^{\circ}$.

1) Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos{4\beta}}}$ при $0 \le \beta \le 90^\circ$.
Начнем преобразование с внутреннего подкоренного выражения, используя формулу понижения степени для косинуса $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$. Для нашего случая $2\alpha = 4\beta$, следовательно, $\alpha = 2\beta$.
$\sqrt{2 + 2\cos{4\beta}} = \sqrt{2(1 + \cos{4\beta})} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(2\beta)} = \sqrt{4\cos^2(2\beta)} = |2\cos(2\beta)| = 2|\cos(2\beta)|$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{2 + 2|\cos(2\beta)|}$.
Далее необходимо проанализировать знак выражения $\cos(2\beta)$ с учетом заданного диапазона для $\beta$: $0 \le \beta \le 90^\circ$. Это соответствует диапазону $0 \le 2\beta \le 180^\circ$. В этом диапазоне косинус меняет знак, поэтому рассмотрим два случая.
Случай 1: $0 \le \beta \le 45^\circ$.
В этом интервале $0 \le 2\beta \le 90^\circ$, поэтому $\cos(2\beta) \ge 0$, и $|\cos(2\beta)| = \cos(2\beta)$.
Выражение принимает вид $\sqrt{2 + 2\cos(2\beta)}$. Снова применяем ту же формулу, но теперь $2\alpha = 2\beta$, значит $\alpha = \beta$.
$\sqrt{2(1 + \cos(2\beta))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\beta)} = \sqrt{4\cos^2(\beta)} = |2\cos(\beta)| = 2|\cos(\beta)|$.
При $0 \le \beta \le 45^\circ$ значение $\cos(\beta) \ge 0$, поэтому $|\cos(\beta)| = \cos(\beta)$.
В этом случае выражение равно $2\cos(\beta)$.
Случай 2: $45^\circ < \beta \le 90^\circ$.
В этом интервале $90^\circ < 2\beta \le 180^\circ$, поэтому $\cos(2\beta) \le 0$, и $|\cos(2\beta)| = -\cos(2\beta)$.
Выражение принимает вид $\sqrt{2 - 2\cos(2\beta)}$. Используем формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$, где $\alpha = \beta$.
$\sqrt{2(1 - \cos(2\beta))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2(\beta)} = \sqrt{4\sin^2(\beta)} = |2\sin(\beta)| = 2|\sin(\beta)|$.
При $45^\circ < \beta \le 90^\circ$ значение $\sin(\beta) > 0$, поэтому $|\sin(\beta)| = \sin(\beta)$.
В этом случае выражение равно $2\sin(\beta)$.
Ответ: $\begin{cases} 2\cos(\beta), & \text{если } 0^\circ \le \beta \le 45^\circ \\ 2\sin(\beta), & \text{если } 45^\circ < \beta \le 90^\circ \end{cases}$

2) Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos{\beta}}}$ при $360^\circ \le \beta \le 720^\circ$.
Начнем с внутреннего корня, используя формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.
$\sqrt{2 + 2\cos{\beta}} = \sqrt{2(1 + \cos{\beta})} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\beta}{2})} = \sqrt{4\cos^2(\frac{\beta}{2})} = 2|\cos(\frac{\beta}{2})|$.
Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{2 + 2|\cos(\frac{\beta}{2})|}$.
Проанализируем знак $\cos(\frac{\beta}{2})$ при $360^\circ \le \beta \le 720^\circ$. Разделив на 2, получаем диапазон для аргумента: $180^\circ \le \frac{\beta}{2} \le 360^\circ$. В этом диапазоне косинус меняет знак.
Случай 1: $360^\circ \le \beta \le 540^\circ$.
В этом случае $180^\circ \le \frac{\beta}{2} \le 270^\circ$ (III четверть), где $\cos(\frac{\beta}{2}) \le 0$. Следовательно, $|\cos(\frac{\beta}{2})| = -\cos(\frac{\beta}{2})$.
Выражение становится $\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\beta}{2})}$. Применим формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\sqrt{2(1 - \cos(\frac{\beta}{2}))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{4})} = \sqrt{4\sin^2(\frac{\beta}{4})} = 2|\sin(\frac{\beta}{4})|$.
Для $360^\circ \le \beta \le 540^\circ$ имеем $90^\circ \le \frac{\beta}{4} \le 135^\circ$ (II четверть), где $\sin(\frac{\beta}{4}) \ge 0$.
Значит, выражение равно $2\sin(\frac{\beta}{4})$.
Случай 2: $540^\circ < \beta \le 720^\circ$.
В этом случае $270^\circ < \frac{\beta}{2} \le 360^\circ$ (IV четверть), где $\cos(\frac{\beta}{2}) \ge 0$. Следовательно, $|\cos(\frac{\beta}{2})| = \cos(\frac{\beta}{2})$.
Выражение становится $\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\beta}{2})}$. Применим формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\sqrt{2(1 + \cos(\frac{\beta}{2}))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\beta}{4})} = \sqrt{4\cos^2(\frac{\beta}{4})} = 2|\cos(\frac{\beta}{4})|$.
Для $540^\circ < \beta \le 720^\circ$ имеем $135^\circ < \frac{\beta}{4} \le 180^\circ$ (II четверть), где $\cos(\frac{\beta}{4}) \le 0$.
Значит, $|\cos(\frac{\beta}{4})| = -\cos(\frac{\beta}{4})$, и выражение равно $-2\cos(\frac{\beta}{4})$.
Ответ: $\begin{cases} 2\sin(\frac{\beta}{4}), & \text{если } 360^\circ \le \beta \le 540^\circ \\ -2\cos(\frac{\beta}{4}), & \text{если } 540^\circ < \beta \le 720^\circ \end{cases}$

29.23. Докажите, если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то $\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta + \text{tg}\gamma = \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \cdot \text{tg}\gamma$.

Для доказательства данного тождества воспользуемся условием $α + β + γ = π$.

Из этого условия выразим один из углов, например, $γ$:

$γ = π - (α + β)$

Теперь возьмем тангенс от обеих частей этого равенства. Данное тождество имеет смысл только в том случае, когда тангенсы всех углов $α$, $β$ и $γ$ существуют, то есть ни один из углов не равен $\frac{π}{2} + kπ$ для любого целого $k$.

$tgγ = tg(π - (α + β))$

Используя формулу приведения для тангенса, $tg(π - x) = -tg(x)$, получаем:

$tgγ = -tg(α + β)$

Применим формулу тангенса суммы углов $α$ и $β$: $tg(α + β) = \frac{tgα + tgβ}{1 - tgα \cdot tgβ}$.

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$tgγ = - \frac{tgα + tgβ}{1 - tgα \cdot tgβ}$

Домножим обе части равенства на $(1 - tgα \cdot tgβ)$, при условии, что это выражение не равно нулю (то есть $α+β \neq \frac{π}{2} + kπ$):

$tgγ \cdot (1 - tgα \cdot tgβ) = -(tgα + tgβ)$

Раскроем скобки в левой части:

$tgγ - tgα \cdot tgβ \cdot tgγ = -tgα - tgβ$

Теперь сгруппируем слагаемые. Перенесем $tgα$ и $tgβ$ в левую часть, а произведение $tgα \cdot tgβ \cdot tgγ$ в правую:

$tgα + tgβ + tgγ = tgα \cdot tgβ \cdot tgγ$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $tgα + tgβ + tgγ = tgα \cdot tgβ \cdot tgγ$ при условии $α + β + γ = π$ доказано.

29.24. Докажите тождество:

1) $ \frac{\sin 4x}{1 + \cos 4} \cdot \frac{\cos 2x}{1 + \cos 2x} = \text{tg}x; $

2) $ \frac{\cos^3 x - \cos 3x}{\sin^3 x + \sin 3x} = \text{tg}x; $

3) $ \sin 4x + \cos 4x \text{ctg}2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{2\text{tg}x}; $

4) $ 4\sin x \sin \left(\frac{\pi}{3} + x\right) \sin \left(\frac{\pi}{3} - x\right) = \sin 3x. $

1) Докажем тождество $\frac{\sin4x}{1 + \cos4x} \cdot \frac{\cos2x}{1 + \cos2x} = \tg x$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha$.

Для первого множителя применим эти формулы, считая $\alpha = 2x$:

$\frac{\sin4x}{1 + \cos4x} = \frac{2\sin2x\cos2x}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin2x}{\cos2x}$.

Для второго множителя применим формулу, считая $\alpha = x$:

$\frac{\cos2x}{1 + \cos2x} = \frac{\cos2x}{2\cos^2x}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{\sin2x}{\cos2x} \cdot \frac{\cos2x}{2\cos^2x} = \frac{\sin2x}{2\cos^2x}$.

Снова используем формулу синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x\cos x$:

$\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\tg x$.

2) Докажем тождество $\frac{\cos^3 x - \cos3x}{\sin^3 x + \sin3x} = \tg x$.

Используем формулы тройного угла: $\cos3x = 4\cos^3x - 3\cos x$ и $\sin3x = 3\sin x - 4\sin^3x$.

Преобразуем числитель дроби:

$\cos^3 x - \cos3x = \cos^3 x - (4\cos^3x - 3\cos x) = \cos^3 x - 4\cos^3x + 3\cos x = 3\cos x - 3\cos^3x = 3\cos x(1 - \cos^2x)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, получаем $1 - \cos^2x = \sin^2x$. Таким образом, числитель равен $3\cos x\sin^2x$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$\sin^3 x + \sin3x = \sin^3 x + (3\sin x - 4\sin^3x) = \sin^3 x + 3\sin x - 4\sin^3x = 3\sin x - 3\sin^3x = 3\sin x(1 - \sin^2x)$.

Из основного тригонометрического тождества $1 - \sin^2x = \cos^2x$. Таким образом, знаменатель равен $3\sin x\cos^2x$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{3\cos x\sin^2x}{3\sin x\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\tg x$.

3) Докажем тождество $\sin4x + \cos4x\ctg2x = \frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x}$.

Сначала преобразуем левую часть. Запишем $\ctg2x$ как $\frac{\cos2x}{\sin2x}$:

$\sin4x + \cos4x \cdot \frac{\cos2x}{\sin2x}$.

Приведем к общему знаменателю $\sin2x$:

$\frac{\sin4x\sin2x + \cos4x\cos2x}{\sin2x}$.

В числителе используем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha=4x$ и $\beta=2x$:

$\frac{\cos(4x-2x)}{\sin2x} = \frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Теперь преобразуем правую часть. Используем формулы $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{2 \frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{2\sin x}{\cos x}}$.

Упростим дробь:

$\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{2\sin x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{2\sin x \cos x}$.

В числителе стоит формула косинуса двойного угла $\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, а в знаменателе - формула синуса двойного угла $\sin2x = 2\sin x \cos x$.

Таким образом, правая часть равна $\frac{\cos2x}{\sin2x} = \ctg2x$.

Так как левая и правая части равны $\ctg2x$, тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - \tg^2 x}{2\tg x}$.

4) Докажем тождество $4\sin x\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin3x$.

Преобразуем произведение $\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x)$. Воспользуемся формулами синуса суммы и разности:

$\sin(\frac{\pi}{3} + x) = \sin\frac{\pi}{3}\cos x + \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x$.

$\sin(\frac{\pi}{3} - x) = \sin\frac{\pi}{3}\cos x - \cos\frac{\pi}{3}\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x$.

Их произведение является разностью квадратов:

$\sin(\frac{\pi}{3} + x)\sin(\frac{\pi}{3} - x) = (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)^2 - (\frac{1}{2}\sin x)^2 = \frac{3}{4}\cos^2x - \frac{1}{4}\sin^2x = \frac{1}{4}(3\cos^2x - \sin^2x)$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$4\sin x \cdot \frac{1}{4}(3\cos^2x - \sin^2x) = \sin x(3\cos^2x - \sin^2x)$.

Заменим $\cos^2x$ на $1 - \sin^2x$:

$\sin x(3(1 - \sin^2x) - \sin^2x) = \sin x(3 - 3\sin^2x - \sin^2x) = \sin x(3 - 4\sin^2x) = 3\sin x - 4\sin^3x$.

Полученное выражение является формулой синуса тройного угла: $3\sin x - 4\sin^3x = \sin3x$.

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: $\sin3x$.

29.25. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1 + \cos 2\beta}{3 + 2\sin 2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 2;$

2) $\frac{3\sin 4\beta}{1 + 4\cos 2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = -3.$

1)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{1 + \cos{2\beta}}{3 + 2\sin{2\beta}}$ при $\tan{\beta} = 2$, воспользуемся формулами, выражающими тригонометрические функции двойного угла через тангенс одинарного угла (формулы универсальной тригонометрической подстановки):

$\cos{2\beta} = \frac{1 - \tan^2{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}}$

$\sin{2\beta} = \frac{2\tan{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}}$

Подставим в эти формулы известное значение $\tan{\beta} = 2$:

$\cos{2\beta} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$

$\sin{2\beta} = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$

Теперь подставим полученные значения $\cos{2\beta}$ и $\sin{2\beta}$ в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos{2\beta}}{3 + 2\sin{2\beta}} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{3 + 2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{3 + \frac{8}{5}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель: $1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Знаменатель: $3 + \frac{8}{5} = \frac{15}{5} + \frac{8}{5} = \frac{23}{5}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{23}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{23} = \frac{2}{23}$

Ответ: $\frac{2}{23}$

2)

Чтобы найти значение выражения $\frac{3\sin{4\beta}}{1 + 4\cos{2\beta}}$ при $\tan{\beta} = -3$, сначала упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Для $\sin{4\beta}$ примем $\alpha = 2\beta$:

$\sin{4\beta} = 2\sin{2\beta}\cos{2\beta}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3 \cdot (2\sin{2\beta}\cos{2\beta})}{1 + 4\cos{2\beta}} = \frac{6\sin{2\beta}\cos{2\beta}}{1 + 4\cos{2\beta}}$

Теперь, как и в предыдущей задаче, найдем значения $\sin{2\beta}$ и $\cos{2\beta}$ через $\tan{\beta}$, используя формулы универсальной подстановки. Подставим $\tan{\beta} = -3$:

$\cos{2\beta} = \frac{1 - \tan^2{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}} = \frac{1 - (-3)^2}{1 + (-3)^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

$\sin{2\beta} = \frac{2\tan{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}} = \frac{2 \cdot (-3)}{1 + (-3)^2} = \frac{-6}{1 + 9} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Подставим найденные значения $\sin{2\beta}$ и $\cos{2\beta}$ в преобразованное выражение:

$\frac{6 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5})}{1 + 4 \cdot (-\frac{4}{5})} = \frac{6 \cdot \frac{12}{25}}{1 - \frac{16}{5}}$

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: $6 \cdot \frac{12}{25} = \frac{72}{25}$

Знаменатель: $1 - \frac{16}{5} = \frac{5}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{11}{5}$

Найдем значение дроби:

$\frac{\frac{72}{25}}{-\frac{11}{5}} = \frac{72}{25} \cdot (-\frac{5}{11}) = -\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 11} = -\frac{72}{5 \cdot 11} = -\frac{72}{55}$

Ответ: $-\frac{72}{55}$

29.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

$$\frac{2\cos^2 \alpha + \cos4\alpha - 1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}}$$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения, мы сначала упростим его. Обозначим данное выражение как $E$.

$E = \frac{2\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1}{\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}}$

Сначала преобразуем числитель. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, мы можем переписать $2\cos^2\alpha - 1$ как $\cos(2\alpha)$.

Числитель: $2\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1 = (2\cos^2\alpha - 1) + \cos(4\alpha) = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Далее преобразуем знаменатель. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $b = \sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Знаменатель: $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2} = \left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$, получаем:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} = 1$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\alpha$.

Таким образом, знаменатель упрощается до $\cos\alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение. Выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$.

$E = \frac{\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)}{\cos\alpha}$.

К числителю применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

$\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos\alpha$.

Подставляем это обратно в выражение для $E$:

$E = \frac{2\cos(3\alpha)\cos\alpha}{\cos\alpha}$.

При условии $\cos\alpha \neq 0$ мы можем сократить дробь:

$E = 2\cos(3\alpha)$.

Теперь необходимо найти область значений функции $E(\alpha) = 2\cos(3\alpha)$ с учётом ограничения $\cos\alpha \neq 0$.

Область значений функции $\cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $\cos(3\alpha)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений выражения $2\cos(3\alpha)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Наибольшее значение выражения равно $2$. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = 1$, то есть $3\alpha = 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), или $\alpha = \frac{2\pi k}{3}$. Необходимо убедиться, что при таких $\alpha$ выполняется условие $\cos\alpha \neq 0$. Например, при $k=1$, $\alpha = 2\pi/3$ и $\cos(2\pi/3) = -1/2 \neq 0$. Следовательно, значение $2$ достигается.

Наименьшее значение выражения равно $-2$. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = -1$, то есть $3\alpha = \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), или $\alpha = \frac{\pi(2k+1)}{3}$. Проверим условие $\cos\alpha \neq 0$. Например, при $k=0$, $\alpha = \pi/3$ и $\cos(\pi/3) = 1/2 \neq 0$. Следовательно, значение $-2$ также достигается.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2, а наименьшее — -2.

Ответ: Наибольшее значение: 2; наименьшее значение: -2.

29.27. Найдите значение суммы:

1) $\sin \frac{\pi}{6} + \sin^2 \frac{\pi}{6} + \sin^3 \frac{\pi}{6} + \dots + \sin^n \frac{\pi}{6} + \dots$

2) $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{3} + \operatorname{ctg}^3 \frac{\pi}{3} + \dots + \operatorname{ctg}^n \frac{\pi}{3} + \dots$

1) Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.
Найдем первый член $b_1$ и знаменатель $q$ этой прогрессии.
Первый член прогрессии: $b_1 = \sin\frac{\pi}{6}$. Мы знаем, что значение синуса для этого угла равно $\frac{1}{2}$. Таким образом, $b_1 = \frac{1}{2}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому: $q = \frac{\sin^2\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}} = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
Поскольку модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является сходящейся (бесконечно убывающей), и ее сумму можно вычислить по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$ в формулу:
$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: 1

2) Эта сумма также является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии.
Найдем ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член прогрессии: $b_1 = \ctg\frac{\pi}{3}$. Значение котангенса для этого угла равно $\frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Итак, $b_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен: $q = \frac{\ctg^2\frac{\pi}{3}}{\ctg\frac{\pi}{3}} = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Проверим условие сходимости. Модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие $|q| < 1$ выполняется, следовательно, мы можем найти сумму этого ряда.
Используем ту же формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$S = \frac{b_1}{1 - q}$.
Подставим значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{\sqrt{3}-1}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{3}+1)$:
$S = \frac{1 \cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

29.28. Докажите, что значение выражения $ \cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) - 2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos(\alpha + \beta) $ не зависит от величины $\alpha$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от величины $ \alpha $, мы упростим его, используя тригонометрические тождества.

Обозначим данное выражение через $ E $: $ E = \cos^2\alpha + \cos^2(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos(\alpha + \beta) $

Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $ \cos(\alpha + \beta) $: $ E = \cos^2\alpha + \cos(\alpha + \beta) \left( \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta \right) $

Раскроем $ \cos(\alpha + \beta) $ внутри скобок, используя формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $: $ \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta = -(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) $

Заметим, что $ \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ является формулой косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) $. Таким образом, выражение в скобках равно $ -\cos(\alpha - \beta) $.

Подставим это обратно в выражение для $ E $: $ E = \cos^2\alpha + \cos(\alpha + \beta) \cdot (-\cos(\alpha - \beta)) = \cos^2\alpha - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов, которая следует из формул сложения: $ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2x - \sin^2y $. В нашем случае $ x=\alpha $ и $ y=\beta $: $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $

Подставляя это в выражение для $ E $, получаем окончательный результат: $ E = \cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\beta = \sin^2\beta $

Конечный результат $ \sin^2\beta $ не содержит переменной $ \alpha $. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от величины $ \alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно $ \sin^2\beta $, и оно не зависит от величины $ \alpha $.

29.29. Найдите значение выражения:

1)

$1 + \frac{P_{10}}{P_9} - \frac{P_7}{P_6}$;

2)

$\frac{P_7}{P_9} \cdot A_9^3 + 2$;

3)

$\frac{4P_7}{P_{10}} \cdot A_{10}^2 + 0,5$;

4)

$\frac{A_6^4}{P_3} : C_6^5$.

1) Для решения данного выражения воспользуемся формулой числа перестановок $P_n = n!$.
Исходное выражение: $1 + \frac{P_{10}}{P_9} - \frac{P_7}{P_6}$.
Подставим формулу факториала в выражение: $1 + \frac{10!}{9!} - \frac{7!}{6!}$.
Упростим дроби, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:
$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
$\frac{7!}{6!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$1 + 10 - 7 = 4$.
Ответ: 4

2) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_7}{P_9} \cdot A_9^3 + 2$.
Подставим формулы в выражение:
$\frac{7!}{9!} \cdot \frac{9!}{(9-3)!} + 2 = \frac{7!}{9!} \cdot \frac{9!}{6!} + 2$.
Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{7!}{6!} + 2$.
Упростим дробь: $\frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.
Вычислим конечное значение: $7 + 2 = 9$.
Ответ: 9

3) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{4P_7}{P_{10}} \cdot A_{10}^2 + 0,5$.
Подставим формулы в выражение:
$\frac{4 \cdot 7!}{10!} \cdot \frac{10!}{(10-2)!} + 0,5 = \frac{4 \cdot 7!}{10!} \cdot \frac{10!}{8!} + 0,5$.
Сократим $10!$:
$\frac{4 \cdot 7!}{8!} + 0,5$.
Упростим дробь: $\frac{4 \cdot 7!}{8 \cdot 7!} = \frac{4}{8} = 0,5$.
Вычислим конечное значение: $0,5 + 0,5 = 1$.
Ответ: 1

4) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, числа перестановок $P_n = n!$ и числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{A_6^4}{P_3} : C_6^5$.
Вычислим каждый компонент отдельно:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$.
Теперь подставим вычисленные значения в выражение:
$\frac{360}{6} : 6 = 60 : 6 = 10$.
Ответ: 10

29.30. Найдите количество четных четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 0, при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

Для решения этой задачи необходимо найти количество четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 0, при условии, что числа должны быть четными и ни одна цифра в них не повторяется.

Поскольку число должно быть четырехзначным и цифры в нем не повторяются, для его составления необходимо использовать все четыре предоставленные цифры: 1, 3, 5, 0.

Рассмотрим условия, которым должно удовлетворять число. Во-первых, оно должно быть четным. Это означает, что его последняя цифра (в разряде единиц) должна быть четной. Из набора {1, 3, 5, 0} единственной четной цифрой является 0. Следовательно, последняя цифра искомых чисел обязательно должна быть 0.

Во-вторых, число должно быть четырехзначным, что означает, что его первая цифра (в разряде тысяч) не может быть 0.

Будем формировать число, последовательно выбирая цифры для каждого из четырех разрядов, начиная с тех, на которые наложены самые строгие ограничения.

1. Разряд единиц (последняя цифра):
Чтобы число было четным, оно должно оканчиваться на 0. Таким образом, для последней позиции есть только 1 вариант.
_ _ _ 0

2. Разряд тысяч (первая цифра):
На эту позицию нельзя ставить 0. Так как цифра 0 уже использована для разряда единиц, это условие выполняется автоматически. Для первой позиции остаются на выбор цифры {1, 3, 5}. Следовательно, есть 3 варианта для выбора первой цифры.

3. Разряд сотен (вторая цифра):
Мы уже задействовали две цифры (одну для тысяч и 0 для единиц). Из исходного набора {1, 3, 5, 0} остались две неиспользованные цифры. Значит, для второй позиции есть 2 варианта.

4. Разряд десятков (третья цифра):
После выбора первых трех цифр остается только одна неиспользованная цифра. Таким образом, для третьей позиции остается 1 вариант.

Чтобы найти общее количество таких чисел, воспользуемся комбинаторным правилом умножения, перемножив количество способов выбора для каждой позиции:
$N = 3 \times 2 \times 1 \times 1 = 6$

Это означает, что можно составить 6 различных четных четырехзначных чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: 6