Номер 29.26, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.26. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

$$\frac{2\cos^2 \alpha + \cos4\alpha - 1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}}$$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения, мы сначала упростим его. Обозначим данное выражение как $E$.

$E = \frac{2\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1}{\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2}}$

Сначала преобразуем числитель. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, мы можем переписать $2\cos^2\alpha - 1$ как $\cos(2\alpha)$.

Числитель: $2\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1 = (2\cos^2\alpha - 1) + \cos(4\alpha) = \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)$.

Далее преобразуем знаменатель. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \cos^2\frac{\alpha}{2}$ и $b = \sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Знаменатель: $\cos^4\frac{\alpha}{2} - \sin^4\frac{\alpha}{2} = \left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$, получаем:

$\cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} = 1$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2} = \cos\left(2 \cdot \frac{\alpha}{2}\right) = \cos\alpha$.

Таким образом, знаменатель упрощается до $\cos\alpha$.

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в исходное выражение. Выражение определено при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos\alpha \neq 0$.

$E = \frac{\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha)}{\cos\alpha}$.

К числителю применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$.

$\cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} = 2\cos(3\alpha)\cos\alpha$.

Подставляем это обратно в выражение для $E$:

$E = \frac{2\cos(3\alpha)\cos\alpha}{\cos\alpha}$.

При условии $\cos\alpha \neq 0$ мы можем сократить дробь:

$E = 2\cos(3\alpha)$.

Теперь необходимо найти область значений функции $E(\alpha) = 2\cos(3\alpha)$ с учётом ограничения $\cos\alpha \neq 0$.

Область значений функции $\cos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $\cos(3\alpha)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений выражения $2\cos(3\alpha)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Наибольшее значение выражения равно $2$. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = 1$, то есть $3\alpha = 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), или $\alpha = \frac{2\pi k}{3}$. Необходимо убедиться, что при таких $\alpha$ выполняется условие $\cos\alpha \neq 0$. Например, при $k=1$, $\alpha = 2\pi/3$ и $\cos(2\pi/3) = -1/2 \neq 0$. Следовательно, значение $2$ достигается.

Наименьшее значение выражения равно $-2$. Оно достигается, когда $\cos(3\alpha) = -1$, то есть $3\alpha = \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$), или $\alpha = \frac{\pi(2k+1)}{3}$. Проверим условие $\cos\alpha \neq 0$. Например, при $k=0$, $\alpha = \pi/3$ и $\cos(\pi/3) = 1/2 \neq 0$. Следовательно, значение $-2$ также достигается.

Таким образом, наибольшее значение выражения равно 2, а наименьшее — -2.

Ответ: Наибольшее значение: 2; наименьшее значение: -2.