Номер 29.22, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.22. Упростите выражение:

1) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\beta}}$ при $0 \le \beta \le 90^{\circ}$;

2) $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos\beta}}$ при $360^{\circ} \le \beta \le 720^{\circ}$.

1) Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos{4\beta}}}$ при $0 \le \beta \le 90^\circ$.
Начнем преобразование с внутреннего подкоренного выражения, используя формулу понижения степени для косинуса $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha)$. Для нашего случая $2\alpha = 4\beta$, следовательно, $\alpha = 2\beta$.
$\sqrt{2 + 2\cos{4\beta}} = \sqrt{2(1 + \cos{4\beta})} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(2\beta)} = \sqrt{4\cos^2(2\beta)} = |2\cos(2\beta)| = 2|\cos(2\beta)|$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt{2 + 2|\cos(2\beta)|}$.
Далее необходимо проанализировать знак выражения $\cos(2\beta)$ с учетом заданного диапазона для $\beta$: $0 \le \beta \le 90^\circ$. Это соответствует диапазону $0 \le 2\beta \le 180^\circ$. В этом диапазоне косинус меняет знак, поэтому рассмотрим два случая.
Случай 1: $0 \le \beta \le 45^\circ$.
В этом интервале $0 \le 2\beta \le 90^\circ$, поэтому $\cos(2\beta) \ge 0$, и $|\cos(2\beta)| = \cos(2\beta)$.
Выражение принимает вид $\sqrt{2 + 2\cos(2\beta)}$. Снова применяем ту же формулу, но теперь $2\alpha = 2\beta$, значит $\alpha = \beta$.
$\sqrt{2(1 + \cos(2\beta))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\beta)} = \sqrt{4\cos^2(\beta)} = |2\cos(\beta)| = 2|\cos(\beta)|$.
При $0 \le \beta \le 45^\circ$ значение $\cos(\beta) \ge 0$, поэтому $|\cos(\beta)| = \cos(\beta)$.
В этом случае выражение равно $2\cos(\beta)$.
Случай 2: $45^\circ < \beta \le 90^\circ$.
В этом интервале $90^\circ < 2\beta \le 180^\circ$, поэтому $\cos(2\beta) \le 0$, и $|\cos(2\beta)| = -\cos(2\beta)$.
Выражение принимает вид $\sqrt{2 - 2\cos(2\beta)}$. Используем формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$, где $\alpha = \beta$.
$\sqrt{2(1 - \cos(2\beta))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2(\beta)} = \sqrt{4\sin^2(\beta)} = |2\sin(\beta)| = 2|\sin(\beta)|$.
При $45^\circ < \beta \le 90^\circ$ значение $\sin(\beta) > 0$, поэтому $|\sin(\beta)| = \sin(\beta)$.
В этом случае выражение равно $2\sin(\beta)$.
Ответ: $\begin{cases} 2\cos(\beta), & \text{если } 0^\circ \le \beta \le 45^\circ \\ 2\sin(\beta), & \text{если } 45^\circ < \beta \le 90^\circ \end{cases}$

2) Упростим выражение $\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos{\beta}}}$ при $360^\circ \le \beta \le 720^\circ$.
Начнем с внутреннего корня, используя формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.
$\sqrt{2 + 2\cos{\beta}} = \sqrt{2(1 + \cos{\beta})} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\beta}{2})} = \sqrt{4\cos^2(\frac{\beta}{2})} = 2|\cos(\frac{\beta}{2})|$.
Исходное выражение принимает вид: $\sqrt{2 + 2|\cos(\frac{\beta}{2})|}$.
Проанализируем знак $\cos(\frac{\beta}{2})$ при $360^\circ \le \beta \le 720^\circ$. Разделив на 2, получаем диапазон для аргумента: $180^\circ \le \frac{\beta}{2} \le 360^\circ$. В этом диапазоне косинус меняет знак.
Случай 1: $360^\circ \le \beta \le 540^\circ$.
В этом случае $180^\circ \le \frac{\beta}{2} \le 270^\circ$ (III четверть), где $\cos(\frac{\beta}{2}) \le 0$. Следовательно, $|\cos(\frac{\beta}{2})| = -\cos(\frac{\beta}{2})$.
Выражение становится $\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\beta}{2})}$. Применим формулу $1 - \cos(\alpha) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\sqrt{2(1 - \cos(\frac{\beta}{2}))} = \sqrt{2 \cdot 2\sin^2(\frac{\beta}{4})} = \sqrt{4\sin^2(\frac{\beta}{4})} = 2|\sin(\frac{\beta}{4})|$.
Для $360^\circ \le \beta \le 540^\circ$ имеем $90^\circ \le \frac{\beta}{4} \le 135^\circ$ (II четверть), где $\sin(\frac{\beta}{4}) \ge 0$.
Значит, выражение равно $2\sin(\frac{\beta}{4})$.
Случай 2: $540^\circ < \beta \le 720^\circ$.
В этом случае $270^\circ < \frac{\beta}{2} \le 360^\circ$ (IV четверть), где $\cos(\frac{\beta}{2}) \ge 0$. Следовательно, $|\cos(\frac{\beta}{2})| = \cos(\frac{\beta}{2})$.
Выражение становится $\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\beta}{2})}$. Применим формулу $1 + \cos(\alpha) = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha = \frac{\beta}{2}$.
$\sqrt{2(1 + \cos(\frac{\beta}{2}))} = \sqrt{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\beta}{4})} = \sqrt{4\cos^2(\frac{\beta}{4})} = 2|\cos(\frac{\beta}{4})|$.
Для $540^\circ < \beta \le 720^\circ$ имеем $135^\circ < \frac{\beta}{4} \le 180^\circ$ (II четверть), где $\cos(\frac{\beta}{4}) \le 0$.
Значит, $|\cos(\frac{\beta}{4})| = -\cos(\frac{\beta}{4})$, и выражение равно $-2\cos(\frac{\beta}{4})$.
Ответ: $\begin{cases} 2\sin(\frac{\beta}{4}), & \text{если } 360^\circ \le \beta \le 540^\circ \\ -2\cos(\frac{\beta}{4}), & \text{если } 540^\circ < \beta \le 720^\circ \end{cases}$