Номер 29.29, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.29. Найдите значение выражения:

1)

$1 + \frac{P_{10}}{P_9} - \frac{P_7}{P_6}$;

2)

$\frac{P_7}{P_9} \cdot A_9^3 + 2$;

3)

$\frac{4P_7}{P_{10}} \cdot A_{10}^2 + 0,5$;

4)

$\frac{A_6^4}{P_3} : C_6^5$.

1) Для решения данного выражения воспользуемся формулой числа перестановок $P_n = n!$.
Исходное выражение: $1 + \frac{P_{10}}{P_9} - \frac{P_7}{P_6}$.
Подставим формулу факториала в выражение: $1 + \frac{10!}{9!} - \frac{7!}{6!}$.
Упростим дроби, используя свойство факториала $n! = n \cdot (n-1)!$:
$\frac{10!}{9!} = \frac{10 \cdot 9!}{9!} = 10$.
$\frac{7!}{6!} = \frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$1 + 10 - 7 = 4$.
Ответ: 4

2) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{P_7}{P_9} \cdot A_9^3 + 2$.
Подставим формулы в выражение:
$\frac{7!}{9!} \cdot \frac{9!}{(9-3)!} + 2 = \frac{7!}{9!} \cdot \frac{9!}{6!} + 2$.
Сократим $9!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{7!}{6!} + 2$.
Упростим дробь: $\frac{7 \cdot 6!}{6!} = 7$.
Вычислим конечное значение: $7 + 2 = 9$.
Ответ: 9

3) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа перестановок $P_n = n!$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{4P_7}{P_{10}} \cdot A_{10}^2 + 0,5$.
Подставим формулы в выражение:
$\frac{4 \cdot 7!}{10!} \cdot \frac{10!}{(10-2)!} + 0,5 = \frac{4 \cdot 7!}{10!} \cdot \frac{10!}{8!} + 0,5$.
Сократим $10!$:
$\frac{4 \cdot 7!}{8!} + 0,5$.
Упростим дробь: $\frac{4 \cdot 7!}{8 \cdot 7!} = \frac{4}{8} = 0,5$.
Вычислим конечное значение: $0,5 + 0,5 = 1$.
Ответ: 1

4) Для решения данного выражения воспользуемся формулами числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, числа перестановок $P_n = n!$ и числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Исходное выражение: $\frac{A_6^4}{P_3} : C_6^5$.
Вычислим каждый компонент отдельно:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5! \cdot 1!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$.
Теперь подставим вычисленные значения в выражение:
$\frac{360}{6} : 6 = 60 : 6 = 10$.
Ответ: 10