Номер 29.28, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.28. Докажите, что значение выражения $ \cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + \beta) - 2 \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos(\alpha + \beta) $ не зависит от величины $\alpha$.

Для доказательства того, что значение выражения не зависит от величины $ \alpha $, мы упростим его, используя тригонометрические тождества.

Обозначим данное выражение через $ E $: $ E = \cos^2\alpha + \cos^2(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta \cos(\alpha + \beta) $

Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $ \cos(\alpha + \beta) $: $ E = \cos^2\alpha + \cos(\alpha + \beta) \left( \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta \right) $

Раскроем $ \cos(\alpha + \beta) $ внутри скобок, используя формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $: $ \cos(\alpha + \beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) - 2 \cos\alpha \cos\beta = -(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) $

Заметим, что $ \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $ является формулой косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) $. Таким образом, выражение в скобках равно $ -\cos(\alpha - \beta) $.

Подставим это обратно в выражение для $ E $: $ E = \cos^2\alpha + \cos(\alpha + \beta) \cdot (-\cos(\alpha - \beta)) = \cos^2\alpha - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) $

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов, которая следует из формул сложения: $ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2x - \sin^2y $. В нашем случае $ x=\alpha $ и $ y=\beta $: $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta $

Подставляя это в выражение для $ E $, получаем окончательный результат: $ E = \cos^2\alpha - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\beta = \sin^2\beta $

Конечный результат $ \sin^2\beta $ не содержит переменной $ \alpha $. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от величины $ \alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно $ \sin^2\beta $, и оно не зависит от величины $ \alpha $.