Номер 29.25, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.25. Найдите значение выражения:

1) $\frac{1 + \cos 2\beta}{3 + 2\sin 2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = 2;$

2) $\frac{3\sin 4\beta}{1 + 4\cos 2\beta}$, если $\operatorname{tg}\beta = -3.$

1)

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{1 + \cos{2\beta}}{3 + 2\sin{2\beta}}$ при $\tan{\beta} = 2$, воспользуемся формулами, выражающими тригонометрические функции двойного угла через тангенс одинарного угла (формулы универсальной тригонометрической подстановки):

$\cos{2\beta} = \frac{1 - \tan^2{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}}$

$\sin{2\beta} = \frac{2\tan{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}}$

Подставим в эти формулы известное значение $\tan{\beta} = 2$:

$\cos{2\beta} = \frac{1 - 2^2}{1 + 2^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$

$\sin{2\beta} = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{1 + 4} = \frac{4}{5}$

Теперь подставим полученные значения $\cos{2\beta}$ и $\sin{2\beta}$ в исходное выражение:

$\frac{1 + \cos{2\beta}}{3 + 2\sin{2\beta}} = \frac{1 + (-\frac{3}{5})}{3 + 2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{1 - \frac{3}{5}}{3 + \frac{8}{5}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе:

Числитель: $1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Знаменатель: $3 + \frac{8}{5} = \frac{15}{5} + \frac{8}{5} = \frac{23}{5}$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{\frac{2}{5}}{\frac{23}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{23} = \frac{2}{23}$

Ответ: $\frac{2}{23}$

2)

Чтобы найти значение выражения $\frac{3\sin{4\beta}}{1 + 4\cos{2\beta}}$ при $\tan{\beta} = -3$, сначала упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$. Для $\sin{4\beta}$ примем $\alpha = 2\beta$:

$\sin{4\beta} = 2\sin{2\beta}\cos{2\beta}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3 \cdot (2\sin{2\beta}\cos{2\beta})}{1 + 4\cos{2\beta}} = \frac{6\sin{2\beta}\cos{2\beta}}{1 + 4\cos{2\beta}}$

Теперь, как и в предыдущей задаче, найдем значения $\sin{2\beta}$ и $\cos{2\beta}$ через $\tan{\beta}$, используя формулы универсальной подстановки. Подставим $\tan{\beta} = -3$:

$\cos{2\beta} = \frac{1 - \tan^2{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}} = \frac{1 - (-3)^2}{1 + (-3)^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$

$\sin{2\beta} = \frac{2\tan{\beta}}{1 + \tan^2{\beta}} = \frac{2 \cdot (-3)}{1 + (-3)^2} = \frac{-6}{1 + 9} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

Подставим найденные значения $\sin{2\beta}$ и $\cos{2\beta}$ в преобразованное выражение:

$\frac{6 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5})}{1 + 4 \cdot (-\frac{4}{5})} = \frac{6 \cdot \frac{12}{25}}{1 - \frac{16}{5}}$

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

Числитель: $6 \cdot \frac{12}{25} = \frac{72}{25}$

Знаменатель: $1 - \frac{16}{5} = \frac{5}{5} - \frac{16}{5} = -\frac{11}{5}$

Найдем значение дроби:

$\frac{\frac{72}{25}}{-\frac{11}{5}} = \frac{72}{25} \cdot (-\frac{5}{11}) = -\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 11} = -\frac{72}{5 \cdot 11} = -\frac{72}{55}$

Ответ: $-\frac{72}{55}$