Номер 23, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. $ \cos\alpha = \frac{1}{5} $. Вычислите $ \frac{2\sin\alpha + \sin 2\alpha}{2\sin\alpha - \sin 2\alpha} $:

A) 0,25;

B) 0,5;

C) 0,75;

D) 1,25;

E) 1,5.

Дано:

$\cos\alpha = \frac{1}{5}$

Найти:

Значение выражения $\frac{2\sin\alpha + \sin2\alpha}{2\sin\alpha - \sin2\alpha}$

Решение:

Для решения данной задачи мы сначала упростим данное тригонометрическое выражение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{2\sin\alpha + \sin2\alpha}{2\sin\alpha - \sin2\alpha} = \frac{2\sin\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2\sin\alpha$. Поскольку из условия $\cos\alpha = \frac{1}{5}$, следует, что $\alpha$ не является кратным $\pi$, а значит $\sin\alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить дробь на $2\sin\alpha$.

$\frac{2\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{2\sin\alpha(1 - \cos\alpha)} = \frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданное значение $\cos\alpha = \frac{1}{5}$:

$\frac{1 + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{4}{5}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{3}{2} = 1,5$

Этот результат соответствует варианту ответа E).

Ответ: 1,5.