Номер 29.10, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.10. Вычислите:

1) $ \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}; $

2) $ \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{6\pi}{7}. $

1) Обозначим искомое выражение через $S_1$:

$S_1 = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}$

Для нахождения суммы умножим обе части равенства на $2\sin\frac{\pi}{7}$. Так как $\frac{\pi}{7}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$.

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$

Воспользуемся формулой преобразования произведения синуса и косинуса в разность синусов: $2\cos\beta\sin\alpha = \sin(\beta+\alpha) - \sin(\beta-\alpha)$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:

$2\cos\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{2\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{2\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}$

$2\cos\frac{4\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{4\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{4\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}$

$2\cos\frac{6\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7} = \sin(\frac{6\pi}{7}+\frac{\pi}{7}) - \sin(\frac{6\pi}{7}-\frac{\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7}$

Теперь сложим полученные выражения:

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (\sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7})$

В правой части мы видим, что слагаемые $\sin\frac{3\pi}{7}$ и $\sin\frac{5\pi}{7}$ взаимно уничтожаются. Такая сумма называется телескопической.

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{\pi}{7}$

Зная, что $\sin\pi = 0$, получаем:

$2S_1\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}$

Поскольку $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на это значение:

$2S_1 = -1$

$S_1 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2) Обозначим искомое выражение через $S_2$:

$S_2 = \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$

Для удобства введем обозначения: $a = \cos\frac{2\pi}{7}$, $b = \cos\frac{4\pi}{7}$, $c = \cos\frac{6\pi}{7}$. Тогда выражение принимает вид $S_2 = ab + ac + bc$.

Из решения пункта 1 нам известно, что сумма этих величин $S_1 = a + b + c = -\frac{1}{2}$.

Воспользуемся формулой квадрата суммы трех чисел:

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$

Подставим в эту формулу известные нам обозначения $S_1$ и $S_2$:

$S_1^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2S_2$

$(-\frac{1}{2})^2 = (\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7}) + 2S_2$

$\frac{1}{4} = (\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7}) + 2S_2$

Теперь вычислим сумму квадратов косинусов, используя формулу понижения степени $\cos^2x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$:

$\cos^2\frac{2\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{2\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{4\pi}{7}}{2}$

$\cos^2\frac{4\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{4\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{8\pi}{7}}{2}$

$\cos^2\frac{6\pi}{7} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{6\pi}{7})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{12\pi}{7}}{2}$

Сложим эти три выражения:

$\cos^2\frac{2\pi}{7} + \cos^2\frac{4\pi}{7} + \cos^2\frac{6\pi}{7} = \frac{1}{2}(1 + \cos\frac{4\pi}{7} + 1 + \cos\frac{8\pi}{7} + 1 + \cos\frac{12\pi}{7}) = \frac{1}{2}(3 + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{8\pi}{7} + \cos\frac{12\pi}{7})$

Воспользуемся свойством чётности косинуса и его периодичностью: $\cos x = \cos(2\pi - x)$.

$\cos\frac{8\pi}{7} = \cos(2\pi - \frac{6\pi}{7}) = \cos\frac{6\pi}{7}$

$\cos\frac{12\pi}{7} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{7}) = \cos\frac{2\pi}{7}$

Подставим эти значения обратно в сумму квадратов:

Сумма квадратов $= \frac{1}{2}(3 + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} + \cos\frac{2\pi}{7}) = \frac{1}{2}(3 + S_1)$

Так как из пункта 1 мы знаем, что $S_1 = -\frac{1}{2}$, то сумма квадратов равна:

$\frac{1}{2}(3 + (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2}(3 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{4}$

Теперь вернемся к нашему основному уравнению для $S_2$:

$\frac{1}{4} = \frac{5}{4} + 2S_2$

Выразим $2S_2$:

$2S_2 = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$

Отсюда находим $S_2$:

$S_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.