Номер 29.8, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29.8. Вычислите:

1) $\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}9^\circ \cdot \dots \cdot \text{tg}85^\circ \cdot \text{tg}89^\circ;$

2) $\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}14^\circ \cdot \dots \cdot \text{ctg}82^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ.$

1) Дано произведение $P = \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}9^\circ \cdot \ldots \cdot \text{tg}85^\circ \cdot \text{tg}89^\circ$.

Углы в аргументах тангенсов представляют собой арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры. Первый член $a_1 = 1^\circ$, разность прогрессии $d = 5^\circ - 1^\circ = 4^\circ$.

Чтобы найти количество множителей (членов прогрессии), воспользуемся формулой n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n = 89^\circ$:

$89 = 1 + (n-1) \cdot 4$

$88 = 4(n-1)$

$n-1 = 22$

$n = 23$

В произведении 23 множителя. Для вычисления произведения используем формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg}\alpha$ и тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$. Из них следует, что $\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}(90^\circ - \alpha) = 1$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы сумма углов в каждой паре составляла $90^\circ$:

$(\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) = \text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 1^\circ) = \text{tg}1^\circ \cdot \text{ctg}1^\circ = 1$.

$(\text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}85^\circ) = \text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}(90^\circ - 5^\circ) = \text{tg}5^\circ \cdot \text{ctg}5^\circ = 1$.

Поскольку общее количество множителей нечетное (23), один из них останется без пары. Это будет средний член последовательности, номер которого равен $(23+1)/2 = 12$.

Найдем значение угла 12-го члена прогрессии:

$a_{12} = a_1 + (12-1)d = 1^\circ + 11 \cdot 4^\circ = 1^\circ + 44^\circ = 45^\circ$.

Этот множитель — $\text{tg}45^\circ$.

Все произведение можно представить как произведение 11 пар, дающих в результате 1, и одного центрального члена $\text{tg}45^\circ$:

$P = (\text{tg}1^\circ \cdot \text{tg}89^\circ) \cdot (\text{tg}5^\circ \cdot \text{tg}85^\circ) \cdot \ldots \cdot \text{tg}45^\circ = (1 \cdot 1 \cdot \ldots) \cdot \text{tg}45^\circ$.

Так как $\text{tg}45^\circ = 1$, то итоговый результат равен:

$P = 1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

2) Дано произведение $P = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}14^\circ \cdot \ldots \cdot \text{ctg}82^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ$.

Для решения воспользуемся формулой приведения $\text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg}\alpha$ и тождеством $\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha = 1$. Комбинируя их, получаем $\text{ctg}\alpha \cdot \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = 1$.

Сгруппируем множители в данном произведении в пары, где сумма углов равна $90^\circ$.

Рассмотрим первую и последнюю пару:

$\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 2^\circ) = \text{ctg}2^\circ \cdot \text{tg}2^\circ = 1$.

$\text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}82^\circ = \text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}(90^\circ - 8^\circ) = \text{ctg}8^\circ \cdot \text{tg}8^\circ = 1$.

Углы в аргументах котангенсов образуют последовательность, в которой разность между соседними членами, указанными в начале и в конце, составляет $6^\circ$ (например, $8^\circ - 2^\circ = 6^\circ$ и $88^\circ - 82^\circ = 6^\circ$). Это означает, что для каждого множителя $\text{ctg}\alpha$ в произведении есть соответствующий ему множитель $\text{ctg}(90^\circ - \alpha)$.

Давайте выпишем углы из начала и конца последовательности:

Начало: $2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44$.

Конец (в обратном порядке): $88, 82, 76, 70, 64, 58, 52, 46$.

Каждому углу $\alpha$ из первой группы соответствует угол $90^\circ - \alpha$ из второй. Например, $2^\circ$ и $88^\circ$, $8^\circ$ и $82^\circ$, ..., $44^\circ$ и $46^\circ$. Угол $45^\circ$ в этой последовательности отсутствует. Это означает, что все множители можно разбить на пары.

Произведение можно записать следующим образом:

$P = (\text{ctg}2^\circ \cdot \text{ctg}88^\circ) \cdot (\text{ctg}8^\circ \cdot \text{ctg}82^\circ) \cdot \ldots \cdot (\text{ctg}44^\circ \cdot \text{ctg}46^\circ)$.

Произведение в каждой из этих пар равно 1. Следовательно, итоговое произведение также равно 1.

Ответ: 1.